자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) — 이 코드의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

극대 매칭의 모든 간선의 양 끝점을 취하면 정점 덮개가 됩니다. 이 덮개는 얼마나 좋습니까?

  1. A항상 최소 정점 덮개
  2. B최적과 비교한 품질을 알 수 없음
  3. C최소 정점 덮개 크기의 최대 두 배
  4. D최솟값의 최대 log n배
3.자료구조보통

이진 탐색 트리에서 최소 키는 어떻게 찾습니까?

  1. A루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다
  2. B모든 리프를 방문하여 비교한다
  3. C루트만 본다
  4. D루트에서 오른쪽 자식이 없을 때까지 오른쪽 자식을 따라간다
4.자료구조어려움

O(1)의 추가 메모리로 단일 연결 리스트에 사이클이 있는지 어떻게 탐지할 수 있습니까?

  1. A리스트를 정렬하고 중복을 찾는다
  2. B방문한 모든 노드를 해시 집합에 저장한다
  3. C개수가 리스트 길이 필드를 넘을 때까지 노드를 센다
  4. D포인터 하나는 한 칸씩, 다른 하나는 두 칸씩 움직여 만나는지 확인한다
5.그래프 이론보통

완전그래프 K6의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K6
H =
6.그래프 이론어려움
15681291014ABCDEF

프림 알고리즘이 정점 C에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 3번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Ck = 3
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 DE
  6. 6간선 DF
  7. 7간선 EF
  8. 8간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n log n)

이것이 답인 이유

안쪽 루프는 n번의 바깥 반복마다 약 log₂ n번 실행되므로 O(n log n)입니다.

답

D · O(n log n)
2.알고리즘과 복잡도

답: C · 최소 정점 덮개 크기의 최대 두 배

이것이 답인 이유

매칭 간선들은 정점을 공유하지 않으므로 최적해는 간선마다 최소 한 정점이 필요하고, 이 방법은 두 개를 취합니다. 즉 2-근사입니다.

답

C · 최소 정점 덮개 크기의 최대 두 배
3.자료구조

답: A · 루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다

이것이 답인 이유

가장 왼쪽 노드보다 작은 키는 트리에 없으므로 그것이 최솟값입니다. 비용은 높이에 비례합니다.

답

A · 루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다
4.자료구조

답: D · 포인터 하나는 한 칸씩, 다른 하나는 두 칸씩 움직여 만나는지 확인한다

이것이 답인 이유

플로이드 알고리즘에서는 사이클이 있으면 빠른 포인터가 결국 느린 포인터를 따라잡고, 그렇지 않으면 빠른 포인터가 null에 도달합니다.

답

D · 포인터 하나는 한 칸씩, 다른 하나는 두 칸씩 움직여 만나는지 확인한다
5.그래프 이론

답: H = 60

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

답

H = 60
6.그래프 이론

답: 간선 BD

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. AC (5)
2. AB (1)
3. BD (8)
4. DF (9)
5. EF (10)

간선 번호 3

BD

답

간선 BD

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