자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

동적 프로그래밍(dynamic programming)은 문제가 무엇을 가질 때 유용합니까?

  1. A중복되는 부분 문제와 최적 부분 구조
  2. B부분 문제가 전혀 없어 한 단계로 풀 수 있음
  3. C무작위 입력만 있음
  4. D루프가 하나뿐임
2.알고리즘과 복잡도어려움

클래스 P의 올바른 정의는 무엇입니까?

  1. A결정적 알고리즘으로 다항 시간에 풀 수 있는 결정 문제
  2. B병렬로 풀 수 있는 문제
  3. C해를 다항 시간에 검증할 수는 있지만 찾는 것은 절대 불가능한 문제
  4. D모든 컴퓨터에서 지수 시간이 필요한 문제
3.자료구조보통

트라이(접두사 트리)는 특히 어떤 작업에 효율적입니까?

  1. A자동 완성과 같은 접두사 검색
  2. B최단 경로 찾기
  3. C숫자 정렬
  4. D행렬 저장
4.자료구조어려움

랭크 기반 합치기(union by rank)와 경로 압축(path compression)을 사용하는 union-find(서로소 집합) 구조의 연산당 분할 상환 비용은 얼마입니까?

  1. A정확히 O(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다
  4. DO(n²)
5.그래프 이론보통
ABCDE오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
2113431095ABCDEF

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 4단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 중복되는 부분 문제와 최적 부분 구조

이것이 답인 이유

중복되는 부분 문제의 결과를 저장(메모이제이션 또는 타뷸레이션)하면 반복 작업을 피할 수 있어 지수 시간 알고리즘이 다항 시간 알고리즘으로 바뀝니다.

답

A · 중복되는 부분 문제와 최적 부분 구조
2.알고리즘과 복잡도

답: A · 결정적 알고리즘으로 다항 시간에 풀 수 있는 결정 문제

이것이 답인 이유

P는 그래프가 연결되어 있는지 확인하는 것처럼 결정적 다항 시간 알고리즘이 있는 결정 문제를 포함합니다.

답

A · 결정적 알고리즘으로 다항 시간에 풀 수 있는 결정 문제
3.자료구조

답: A · 자동 완성과 같은 접두사 검색

이것이 답인 이유

트라이는 문자열을 경로를 따라 문자 단위로 저장하므로, 조회와 접두사 질의에 키 길이에 비례하는 시간이 걸립니다.

답

A · 자동 완성과 같은 접두사 검색
4.자료구조

답: C · O(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다

이것이 답인 이유

두 가지 최적화를 모두 적용하면 연산의 분할 상환 시간은 O(α(n))이며, 현실적인 모든 n에 대해 α(n) ≤ 4입니다.

답

C · O(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다
5.그래프 이론

답: 오일러 경로, 회로 없음

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

홀수 정점

A, B → 2
오일러 경로, 회로 없음

답

오일러 경로, 회로 없음

오일러 경로는 한 홀수 정점에서 시작해 다른 홀수 정점에서 끝납니다.

6.그래프 이론

답: D

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 2, C: 11
2. B (2): C: 5, D: 6, E: 7
3. C (5)
4. D (6): F: 15
5. E (7)
6. F (15)

단계 4

D

답

D

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