자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

도달 가능한 기저 사례가 없는 재귀 함수에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. AO(1) 시간에 실행된다
  2. B컴파일러가 항상 안전하게 끝나는 루프로 바꾼다
  3. C자동으로 0을 반환한다
  4. D호출 스택이 넘칠 때까지 계속 자신을 호출한다
2.알고리즘과 복잡도어려움

결정 불가능한 문제와 다루기 어려운 문제의 차이는 무엇입니까?

  1. A둘 다 그 문제에 알고리즘이 전혀 없다는 뜻이다
  2. B결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다
  3. C다루기 어려운 문제는 어떤 알고리즘으로도 풀 수 없고, 결정 불가능한 문제는 지수 시간만 있으면 된다
  4. D결정 불가능한 문제는 NP에, 다루기 어려운 문제는 P에 속한다
3.자료구조보통

실행 중인 프로그램이 활성 함수 호출과 그 지역 변수를 추적하는 데 사용하는 자료 구조는 무엇입니까?

  1. A호출 스택(call stack)
  2. B프레임들의 이진 탐색 트리
  3. C함수들의 해시 테이블
  4. D힙 메모리 큐
4.자료구조어려움

이진 힙에서 decrease-key(원소의 위치를 알고 있는 경우)의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n log n)
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 4인 정점 3개, 차수가 2인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

3 × deg 42 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
191718106812ABCDE

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 5|E| = 7
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 호출 스택이 넘칠 때까지 계속 자신을 호출한다

이것이 답인 이유

기저 사례가 없으면 재귀는 결코 멈추지 않습니다. 실제로는 스택 프레임용 메모리가 바닥나 프로그램이 비정상 종료됩니다.

답

D · 호출 스택이 넘칠 때까지 계속 자신을 호출한다
2.알고리즘과 복잡도

답: B · 결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다

이것이 답인 이유

정지 문제에는 알고리즘이 전혀 없습니다. TSP 같은 NP-hard 문제는 무차별 대입으로 풀 수 있지만, 알려진 다항 시간에는 풀 수 없습니다.

답

B · 결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다
3.자료구조

답: A · 호출 스택(call stack)

이것이 답인 이유

각 호출은 스택 프레임을 push하고 각 반환은 그것을 pop하므로, 가장 최근의 호출이 먼저 끝납니다.

답

A · 호출 스택(call stack)
4.자료구조

답: A · O(log n)

이것이 답인 이유

키를 감소시킨 후 원소는 최대 힙의 높이만큼 위로 이동합니다(sift up). 피보나치 힙은 분할 상환 O(1) decrease-key를 달성합니다.

답

A · O(log n)
5.그래프 이론

답: L = 8

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 16 = 2(L + 5) − 2
L = 8

답

L = 8

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: W = 41

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

CE (6): 선택
DE (8): 선택
BD (10): 선택
BE (12): 건너뜀, 사이클이 생김
AC (17): 선택

총 가중치

W = 6 + 8 + 10 + 17 = 41

답

W = 41

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