자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

프림 알고리즘은 최소 신장 트리를 어떻게 만듭니까?

  1. A사이클이 없어질 때까지 가장 비싼 간선을 제거한다
  2. B너비 우선 탐색을 실행하고 BFS 트리를 유지한다
  3. C간선을 가중치순으로 모두 정렬하여 숲에서 사이클을 만들지 않는 간선을 하나씩 추가한다
  4. D시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리를 떠나는 가장 싼 간선을 추가한다
2.알고리즘과 복잡도어려움

일부 간선 가중치가 음수일 때 다익스트라 알고리즘이 틀린 결과를 줄 수 있는 이유는 무엇입니까?

  1. A우선순위 큐에 음수를 저장할 수 없기 때문에
  2. B음수 간선마다 무한 루프에 빠지기 때문에
  3. C무방향 그래프에서만 동작하기 때문에
  4. D정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에
3.자료구조보통

이진 힙을 포인터 없이 배열에 저장할 수 있는 이유는 무엇입니까?

  1. A힙에는 원소가 100개를 넘지 않기 때문에
  2. B힙의 모든 키가 같기 때문에
  3. C배열이 키를 자동으로 정렬된 순서로 유지하므로 포인터가 필요 없기 때문에
  4. D완전 이진 트리이므로 위치가 간단한 인덱스 공식을 따르기 때문에
4.자료구조어려움

n개의 수로 된 스트림에서 O(k) 메모리로 가장 작은 값 k개를 유지해야 합니다. O(n log k) 시간에 동작하는 방법은 무엇입니까?

  1. An개의 값을 모두 담는 최소 힙에서 마지막에 가장 작은 k개를 꺼낸다
  2. Bn개의 값을 모두 담는 정렬된 배열
  3. C마지막 k개 값의 FIFO 큐
  4. D크기 k인 최대 힙을 두고, 더 작은 값이 오면 루트를 교체한다
5.그래프 이론보통
ABCDEF오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
ABCDE

C에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리를 떠나는 가장 싼 간선을 추가한다

이것이 답인 이유

교차 간선의 우선순위 큐를 사용하는 프림 알고리즘은 이진 힙으로 O(E log V)에 실행됩니다.

답

D · 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리를 떠나는 가장 싼 간선을 추가한다
2.알고리즘과 복잡도

답: D · 정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에

이것이 답인 이유

탐욕적 단계는 추출된 거리가 확정되도록 음이 아닌 가중치에 의존합니다. 가중치가 음수일 수 있으면 벨만-포드를 사용합니다.

답

D · 정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에
3.자료구조

답: D · 완전 이진 트리이므로 위치가 간단한 인덱스 공식을 따르기 때문에

이것이 답인 이유

완전 트리이므로 빈틈이 없어, 인덱스 i의 자식은 항상 2i + 1과 2i + 2에 있습니다.

답

D · 완전 이진 트리이므로 위치가 간단한 인덱스 공식을 따르기 때문에
4.자료구조

답: D · 크기 k인 최대 힙을 두고, 더 작은 값이 오면 루트를 교체한다

이것이 답인 이유

최대 힙의 루트는 유지하는 값 중 가장 큰 값입니다. 그보다 작은 새 값은 O(log k)에 그것을 대체하므로, 힙은 항상 지금까지의 가장 작은 k개를 담습니다.

답

D · 크기 k인 최대 힙을 두고, 더 작은 값이 오면 루트를 교체한다
5.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

홀수 정점

A, B, C, D, E, F → 6
둘 다 아님

답

둘 다 아님
6.그래프 이론

답: N = 3

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

공통 이웃

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

답

N = 3

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