자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가중치가 없는 그래프에서 너비 우선 탐색(BFS)은 무엇을 찾습니까?

  1. A시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
  2. B모든 그래프에서의 위상 순서
  3. C최소 신장 트리
  4. D음의 간선 가중치를 포함한 그래프에서의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 문제가 NP-완전(NP-complete)이려면 어떤 조건을 만족해야 합니까?

  1. ANP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다
  2. BNP 밖에 있으면서 정지 문제처럼 모든 NP 문제보다 어렵다
  3. C다항 시간에 풀 수 있다
  4. D푸는 것이 불가능하다
3.자료구조보통

이진 탐색 트리의 한 노드에 오른쪽 서브트리가 있습니다. 그 노드의 중위 후속자(in-order successor)는 어디에 있습니까?

  1. A왼쪽 서브트리의 가장 오른쪽 노드
  2. B항상 오른쪽 자식
  3. C항상 부모
  4. D오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드
4.자료구조어려움

랭크에 의한 합집합(union by rank)이나 경로 압축 없이, 원소가 n개인 union-find 구조에서 find 한 번의 최악의 경우 비용은 얼마입니까?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(1)
5.그래프 이론보통

완전그래프 K7의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K7
H =
6.그래프 이론어려움
10133191171618ABCDEF

프림 알고리즘이 정점 D에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 2번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Dk = 2
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 DE
  6. 6간선 DF
  7. 7간선 EF
  8. 8간선 BE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

이것이 답인 이유

BFS는 출발점으로부터의 거리(간선 수) 순서로 노드를 방문하므로 O(V + E)에 가중치 없는 최단 경로를 찾습니다.

답

A · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
2.알고리즘과 복잡도

답: A · NP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다

이것이 답인 이유

NP-완전 문제는 NP에서 가장 어려운 문제이며, 그중 하나라도 다항 시간 알고리즘이 있으면 NP 전체에 대한 다항 시간 알고리즘이 존재하게 됩니다.

답

A · NP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다
3.자료구조

답: D · 오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드

이것이 답인 이유

노드보다 크면서 가까운 키는 모두 오른쪽 서브트리에 있고, 그중 가장 작은 것은 그곳의 가장 왼쪽 노드입니다.

답

D · 오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드
4.자료구조

답: B · O(n)

이것이 답인 이유

단순한 합집합은 트리를 긴 사슬로 연결할 수 있으므로 find가 부모 포인터 n − 1개를 따라가야 할 수 있습니다. 두 휴리스틱을 쓰면 거의 상수에 가까워집니다.

답

B · O(n)
5.그래프 이론

답: H = 360

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

답

H = 360
6.그래프 이론

답: 간선 DE

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. DF (7)
2. DE (11)
3. BE (18)
4. BC (3)
5. AB (10)

간선 번호 2

DE

답

간선 DE

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