자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

정렬된 배열에서 양 끝에서 포인터를 하나씩 안쪽으로 움직이며 합이 목표값인 두 원소를 찾습니다. 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(log n)
BO(n²)
CO(n log n)
DO(n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

2²ⁿ은 O(2ⁿ)에 속합니까?

A예, 둘 다 지수이기 때문에
B아니요, 2²ⁿ이 2ⁿ보다 느리게 증가하기 때문에
C아니요, 2²ⁿ = 4ⁿ이고 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ은 한없이 커지기 때문에
D예, 지수의 상수 계수는 Big O에서 항상 무시되기 때문에

3.자료구조보통

트라이(접두사 트리)는 특히 어떤 작업에 효율적입니까?

A숫자 정렬
B최단 경로 찾기
C행렬 저장
D자동 완성과 같은 접두사 검색

4.자료구조어려움

표준 블룸 필터에서 원소의 비트를 지워 원소를 간단히 삭제할 수 없는 이유는 무엇입니까?

A블룸 필터의 비트는 생성 후 바꿀 수 없기 때문에
B블룸 필터는 원소 전체를 저장하는데, 해시된 뒤에는 그것을 다시 찾을 수 없기 때문에
C삭제하면 거짓 양성률이 100%로 올라가기 때문에
D그 비트가 다른 원소에도 속할 수 있어 거짓 음성을 일으키기 때문에

5.그래프 이론보통

완전그래프 K₄의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₄

H =

6.그래프 이론어려움

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 7|E| = 11

W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n)

이것이 답인 이유

합이 너무 작으면 왼쪽 포인터가 오른쪽으로, 너무 크면 오른쪽 포인터가 왼쪽으로 움직이므로 단계는 최대 n번입니다.

답

D · O(n)

2.알고리즘과 복잡도

답: C · 아니요, 2²ⁿ = 4ⁿ이고 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ은 한없이 커지기 때문에

이것이 답인 이유

지수에 상수를 더하면 상수배가 되지만, 지수에 상수를 곱하면 밑과 증가율이 바뀝니다.

답

C · 아니요, 2²ⁿ = 4ⁿ이고 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ은 한없이 커지기 때문에

3.자료구조

답: D · 자동 완성과 같은 접두사 검색

이것이 답인 이유

트라이는 문자열을 경로를 따라 문자 단위로 저장하므로, 조회와 접두사 질의에 키 길이에 비례하는 시간이 걸립니다.

답

D · 자동 완성과 같은 접두사 검색

4.자료구조

답: D · 그 비트가 다른 원소에도 속할 수 있어 거짓 음성을 일으키기 때문에

이것이 답인 이유

공유된 비트를 지우면 다른 원소가 없는 것처럼 보이게 됩니다. 카운팅 블룸 필터는 삭제를 허용하기 위해 비트 대신 카운터를 유지합니다.

답

D · 그 비트가 다른 원소에도 속할 수 있어 거짓 음성을 일으키기 때문에

5.그래프 이론

답: H = 3

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

답

H = 3

6.그래프 이론

답: W = 52

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

GC (2): 선택

DE (5): 선택

GD (7): 선택

AB (8): 선택

CE (9): 건너뜀, 사이클이 생김

GB (12): 선택

AC (13): 건너뜀, 사이클이 생김

GE (14): 건너뜀, 사이클이 생김

BC (17): 건너뜀, 사이클이 생김

EF (18): 선택

총 가중치

W = 2 + 5 + 7 + 8 + 12 + 18 = 52

답

W = 52

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