자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

원소가 1,000,000개인 정렬된 배열에서 이진 탐색은 최악의 경우 대략 몇 번 비교합니까?

  1. A약 1,000
  2. B약 20
  3. C약 500,000
  4. D약 100
2.알고리즘과 복잡도어려움

정렬된 배열에서 비교 기반 탐색은 왜 최악의 경우 Ω(log n)번의 비교가 필요합니까?

  1. A이진 탐색이 유일하게 가능한 알고리즘이며 log₂ n번의 비교가 필요하기 때문에
  2. B모든 원소를 최소 한 번은 비교해야 하기 때문에
  3. C가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에
  4. D비교 하나하나가 로그 시간이 걸리기 때문에
3.자료구조보통

이진 트리의 루트는 1이고 왼쪽 자식은 2, 오른쪽 자식은 3입니다. 노드 2의 자식은 4(왼쪽)와 5(오른쪽)입니다. 후위 순회 결과는 무엇입니까?

  1. A5 4 3 2 1
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 2 5 1 3
  4. D4 5 2 3 1
4.자료구조어려움

레드-블랙 트리가 반드시 만족해야 하는 성질은 무엇입니까?

  1. A모든 빨간 노드의 자식은 빨간색이어야 하므로 빨간 노드가 리프까지 끊기지 않는 사슬을 이룬다
  2. B모든 노드는 빨간색이어야 한다
  3. C루트는 빨간색이어야 한다
  4. D한 노드에서 그 자손 리프까지의 모든 경로에 있는 검은 노드의 수가 같다
5.그래프 이론보통

완전그래프 K8의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K8
H =
6.그래프 이론어려움
ABCDEF

C에서 E까지 가는 길이 3의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 약 20

이것이 답인 이유

220 ≈ 1,048,576이므로 약 20번 절반으로 나누면 원소 하나만 남습니다.

답

B · 약 20
2.알고리즘과 복잡도

답: C · 가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에

이것이 답인 이유

각 비교는 남은 가능성의 집합을 많아야 절반으로 줄이므로, n개의 위치를 구별하려면 최소 log₂ n번의 비교가 필요합니다.

답

C · 가능한 결과가 n개인 결정 트리는 깊이가 최소 log₂ n이어야 하기 때문에
3.자료구조

답: D · 4 5 2 3 1

이것이 답인 이유

후위 순회는 2보다 먼저 4와 5를 처리하고, 그다음 3, 마지막으로 루트 1을 처리합니다.

답

D · 4 5 2 3 1
4.자료구조

답: D · 한 노드에서 그 자손 리프까지의 모든 경로에 있는 검은 노드의 수가 같다

이것이 답인 이유

레드-블랙 규칙: 노드는 빨간색 또는 검은색이고, 루트는 검은색이며, 빨간 노드의 자식은 검은색이고, 모든 경로의 블랙 높이가 같습니다. 이로써 높이가 ≤ 2 log₂(n + 1)로 유지됩니다.

답

D · 한 노드에서 그 자손 리프까지의 모든 경로에 있는 검은 노드의 수가 같다
5.그래프 이론

답: H = 2520

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

답

H = 2520
6.그래프 이론

답: N = 6

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 0
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

한 걸음 더

(M³)CE = 1·0 + 2·1 + 3·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 = 6

답

N = 6

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