자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

O(log n)처럼 Big O에서 로그의 밑을 보통 생략하는 이유는 무엇입니까?

  1. A로그는 항상 정수로 반올림되기 때문에
  2. B밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에
  3. C밑은 n이 작을 때만 중요하기 때문에
  4. D컴퓨터 과학의 모든 로그는 밑이 10이므로 생략해도 알 수 있기 때문에
2.알고리즘과 복잡도어려움

동적 프로그래밍으로 푸는 0/1 배낭 문제는 O(nW) 시간이 걸립니다. 이것을 의사 다항 시간(pseudo-polynomial)이라고 부르는 이유는 무엇입니까?

  1. AW = 0일 때만 작동하기 때문이다
  2. B알고리즘이 무작위화되어 있어 입력마다 실행 시간이 달라지기 때문이다
  3. CW는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다
  4. Dn이 항상 작기 때문이다
3.자료구조보통

어떤 애플리케이션은 빠른 조회가 필요하고, 키를 정렬된 순서로 나열하고 범위 질의에도 답해야 합니다. 가장 적합한 구조는 무엇입니까?

  1. A균형 이진 탐색 트리
  2. B정렬되지 않은 연결 리스트
  3. C해시 테이블
  4. D스택
4.자료구조어려움

단일 연결 리스트를 제자리에서 뒤집는 데 드는 시간과 추가 공간 비용은 얼마입니까?

  1. AO(1) 시간과 O(1) 추가 공간
  2. BO(n) 시간과 O(n) 추가 공간
  3. CO(n) 시간과 O(1) 추가 공간
  4. DO(n log n) 시간과 O(1) 추가 공간
5.그래프 이론보통

완전그래프 K8의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K8
H =
6.그래프 이론어려움
299961086ABCDEF

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에

이것이 답인 이유

밑을 바꾸면 로그에 상수가 곱해지는데, Big O는 상수 계수를 무시합니다.

답

B · 밑이 다른 로그는 상수배만큼만 다르기 때문에
2.알고리즘과 복잡도

답: C · W는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다

이것이 답인 이유

실행 시간은 W의 값에 대해서는 다항식이지만 그 길이(log W 비트)에 대해서는 지수적입니다. 0/1 배낭 문제는 NP-완전입니다.

답

C · W는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다
3.자료구조

답: A · 균형 이진 탐색 트리

이것이 답인 이유

균형 BST는 O(log n) 조회를 제공하고 키를 순서대로 유지하므로 중위 순회와 범위 질의가 쉽습니다. 해시 테이블은 키를 흩어 놓습니다.

답

A · 균형 이진 탐색 트리
4.자료구조

답: C · O(n) 시간과 O(1) 추가 공간

이것이 답인 이유

포인터 세 개(이전, 현재, 다음)를 유지하면 새 노드를 할당하지 않고 한 번의 패스로 각 링크를 뒤집을 수 있습니다.

답

C · O(n) 시간과 O(1) 추가 공간
5.그래프 이론

답: H = 2520

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

답

H = 2520
6.그래프 이론

답: d(F) = 19

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 2, C: 9
B (2): D: 11
C (9): E: 15
D (11): F: 19
E (15)
F (19)

최단 경로

A → B → D → F
d(F) = 19

답

d(F) = 19

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