자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

for i = 1 to n: for j = 1 to i: O(1) 작업 수행 — 이 코드의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n³)
2.알고리즘과 복잡도어려움

외판원 문제는 어떻게 분류됩니까?

  1. A결정 버전은 NP-complete이고 최적화 버전은 NP-hard이다
  2. B결정 불가능하다
  3. C결정 버전은 P에 속하지만 최적화 버전은 NP-complete이다
  4. D다익스트라 알고리즘이 모든 도시를 한 번씩 방문하여 풀기 때문에 P에 속한다
3.자료구조보통

실제로 배열 순회가 같은 길이의 연결 리스트 순회보다 훨씬 빠른 경우가 많은 이유는 무엇입니까?

  1. A배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에
  2. B배열 순회는 전체가 O(1)이고 연결 리스트 순회는 O(n)이기 때문에
  3. C연결 리스트는 항상 원소를 디스크에 저장하기 때문에
  4. D배열은 값 비교에 더 적은 명령어를 쓰기 때문에
4.자료구조어려움

힙 정렬에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

  1. A최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다
  2. B추가 저장소로 이진 탐색 트리가 필요하므로 O(n)의 추가 메모리를 쓴다
  3. C안정적이며 O(n)의 추가 메모리가 필요하다
  4. D어떤 입력에서든 O(n) 시간에 실행된다
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 10개이고 간선이 15개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 10|E| = 15
k =
6.그래프 이론어려움
1153613715110ABCDEFG

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(n²)

이것이 답인 이유

안쪽 본문은 모두 n(n + 1) / 2번 실행되며, 이는 여전히 이차입니다.

답

B · O(n²)
2.알고리즘과 복잡도

답: A · 결정 버전은 NP-complete이고 최적화 버전은 NP-hard이다

이것이 답인 이유

"길이가 최대 k인 순회가 있는가?"는 NP-complete입니다. 최단 순회를 찾는 것은 최소한 그만큼 어려우므로 NP-hard입니다.

답

A · 결정 버전은 NP-complete이고 최적화 버전은 NP-hard이다
3.자료구조

답: A · 배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에

이것이 답인 이유

연속된 메모리는 참조 지역성이 좋지만, 연결된 노드는 흩어져 있어 캐시 미스를 많이 일으킬 수 있습니다.

답

A · 배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에
4.자료구조

답: A · 최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다

이것이 답인 이유

힙 정렬은 최대 힙을 만들고 같은 배열 안에서 최댓값을 n번 추출합니다. 먼 거리의 교환이 같은 키의 순서를 바꿀 수 있습니다.

답

A · 최악의 경우 O(n log n) 시간에 제자리 정렬하지만 안정적이지 않다
5.그래프 이론

답: k = 6

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

10 − 1 = 9

제거할 간선

k = 15 − 9 = 6

답

k = 6
6.그래프 이론

답: d(F) = 29

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 11, C: 5
C (5): B: 8, G: 6
G (6): D: 16
B (8)
D (16): E: 22, F: 29
E (22)
F (29)

최단 경로

A → C → G → D → F
d(F) = 29

답

d(F) = 29

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