자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

최악의 경우 비교 기반 정렬의 하한은 무엇입니까?

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 입력에 대해서도 퀵 정렬의 기대(expected) 실행 시간을 O(n log n)으로 만드는 기법은 무엇입니까?

  1. A퀵 정렬을 실행하기 전에 입력을 정렬하기
  2. B왼쪽에만 재귀를 사용하기
  3. C항상 첫 번째 원소를 선택하기
  4. D피벗을 균등하게 무작위로 선택하기
3.자료구조보통

무방향 그래프의 인접 행렬에 대해 참인 것은 무엇입니까?

  1. A항상 상삼각 행렬이다
  2. B주대각선에 대해 대칭이다
  3. C주대각선에는 항상 1이 들어 있다
  4. D각 행에 1이 정확히 하나 있다
4.자료구조어려움

랭크에 의한 합집합(union by rank)이나 경로 압축 없이, 원소가 n개인 union-find 구조에서 find 한 번의 최악의 경우 비용은 얼마입니까?

  1. AO(1)
  2. BO(α(n))
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.그래프 이론보통
ABCDEFG오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
321515361123ABCDEFG

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 6단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · Ω(n log n)

이것이 답인 이유

모든 비교 정렬은 최악의 경우 최소 log₂(n!) ≈ n log n번의 비교가 필요합니다. 계수 정렬은 비교를 하지 않기 때문에 이 하한보다 빠를 수 있습니다.

답

C · Ω(n log n)
2.알고리즘과 복잡도

답: D · 피벗을 균등하게 무작위로 선택하기

이것이 답인 이유

무작위 피벗을 사용하면 모든 입력에 대해 기대 실행 시간이 O(n log n)입니다. 나쁜 경우는 여전히 존재하지만 발생할 가능성은 매우 낮습니다.

답

D · 피벗을 균등하게 무작위로 선택하기
3.자료구조

답: B · 주대각선에 대해 대칭이다

이것이 답인 이유

무방향 그래프에서 간선 {u, v}는 M[u][v]와 M[v][u]가 모두 설정된다는 뜻이므로, 행렬은 그 전치 행렬과 같습니다.

답

B · 주대각선에 대해 대칭이다
4.자료구조

답: D · O(n)

이것이 답인 이유

단순한 합집합은 트리를 긴 사슬로 연결할 수 있으므로 find가 부모 포인터 n − 1개를 따라가야 할 수 있습니다. 두 휴리스틱을 쓰면 거의 상수에 가까워집니다.

답

D · O(n)
5.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 2

홀수 정점

A, B, D, F → 4
둘 다 아님

답

둘 다 아님
6.그래프 이론

답: F

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 3, C: 2
2. C (2): G: 14
3. B (3): D: 18, G: 4
4. G (4): E: 7
5. E (7): F: 13
6. F (13): D: 16
7. D (16)

단계 6

F

답

F

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