자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

동전이 1, 3, 4이고 금액이 6일 때, 탐욕적인 "가장 큰 동전 먼저" 방법은 최적과 비교하여 동전을 몇 개 사용합니까?

  1. A탐욕은 2개, 최적은 2개
  2. B탐욕은 3개, 최적은 3개
  3. C탐욕은 4개, 최적은 3개
  4. D탐욕은 3개, 최적은 2개
2.알고리즘과 복잡도어려움

점화식 T(n) = 2T(n/2) + n log n의 해는 무엇입니까?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log n)
3.자료구조보통

실제로 배열 순회가 같은 길이의 연결 리스트 순회보다 훨씬 빠른 경우가 많은 이유는 무엇입니까?

  1. A연결 리스트는 항상 원소를 디스크에 저장하기 때문에
  2. B배열 순회는 전체가 O(1)이고 연결 리스트 순회는 O(n)이기 때문에
  3. C배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에
  4. D배열은 값 비교에 더 적은 명령어를 쓰기 때문에
4.자료구조어려움

AVL 노드가 왼쪽 자식의 오른쪽 서브트리가 너무 높아져 불균형해졌습니다(left-right 경우). 어떤 수정이 적용됩니까?

  1. A왼쪽 자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전
  2. B노드에서 단일 오른쪽 회전
  3. C왼쪽 자식에서 오른쪽 회전 후 노드에서 왼쪽 회전
  4. D노드에서 단일 왼쪽 회전
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 3개, 차수가 4인 정점 4개, 차수가 5인 정점 2개, 차수가 2인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

3 × deg 34 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
1867171219514ABCDEF

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 6|E| = 8
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 탐욕은 3개, 최적은 2개

이것이 답인 이유

탐욕은 4 + 1 + 1 = 3개를 쓰지만 3 + 3은 2개만 쓰므로, 이 동전 체계에서 탐욕은 최적이 아니고 동적 계획법이 최적입니다.

답

D · 탐욕은 3개, 최적은 2개
2.알고리즘과 복잡도

답: B · Θ(n log² n)

이것이 답인 이유

k단계는 약 n log(n / 2ᵏ)의 작업을 하고 log n개 단계에 걸쳐 합하면 Θ(n log² n)이 되며, 이는 마스터 정리의 확장된 두 번째 경우입니다.

답

B · Θ(n log² n)
3.자료구조

답: C · 배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에

이것이 답인 이유

연속된 메모리는 참조 지역성이 좋지만, 연결된 노드는 흩어져 있어 캐시 미스를 많이 일으킬 수 있습니다.

답

C · 배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에
4.자료구조

답: A · 왼쪽 자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전

이것이 답인 이유

첫 번째 회전이 left-right 경우를 left-left 경우로 바꾸고, 그다음 불균형 노드에서의 오른쪽 회전이 이를 고칩니다.

답

A · 왼쪽 자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전
5.그래프 이론

답: L = 19

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 43 = 2(L + 13) − 2
L = 19

답

L = 19

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: W = 47

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

EF (5): 선택
AC (6): 선택
BC (7): 선택
CE (12): 선택
BE (14): 건너뜀, 사이클이 생김
BD (17): 선택

총 가중치

W = 5 + 6 + 7 + 12 + 17 = 47

답

W = 47

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