자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가중치가 없는 그래프에서 너비 우선 탐색(BFS)은 무엇을 찾습니까?

A음의 간선 가중치를 포함한 그래프에서의 최단 경로
B모든 그래프에서의 위상 순서
C최소 신장 트리
D시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

2.알고리즘과 복잡도어려움

정렬되지 않은 배열에서 k번째로 작은 원소를 선택하는 것에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

A퀵셀렉트는 피벗의 한쪽에만 재귀하므로 최악의 경우에도 O(log n)에 실행된다
B퀵셀렉트는 기대 O(n)에 실행되고, 중앙값의 중앙값은 최악의 경우 O(n)을 보장한다
C선택은 O(n²)에만 가능하다
D선택은 정렬이 필요하므로 항상 Ω(n log n)이 필요하다

3.자료구조보통

이진 탐색 트리에서 최소 키는 어떻게 찾습니까?

A루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다
B모든 리프를 방문하여 비교한다
C루트만 본다
D루트에서 오른쪽 자식이 없을 때까지 오른쪽 자식을 따라간다

4.자료구조어려움

이진 탐색 트리에서 자식이 두 개인 노드를 삭제할 때는 보통 어떻게 합니까?

A루트와 맞바꾼다
B중위 후속자(또는 선행자)로 대체한 다음 그 노드를 삭제한다
C그 아래 서브트리를 처음부터 다시 만들어 그 안에 있던 모든 키를 다시 삽입한다
D서브트리 전체를 삭제한다

5.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 6|E| = 7

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

6.그래프 이론어려움

E에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

이것이 답인 이유

BFS는 출발점으로부터의 거리(간선 수) 순서로 노드를 방문하므로 O(V + E)에 가중치 없는 최단 경로를 찾습니다.

답

D · 시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로

2.알고리즘과 복잡도

답: B · 퀵셀렉트는 기대 O(n)에 실행되고, 중앙값의 중앙값은 최악의 경우 O(n)을 보장한다

이것이 답인 이유

무작위 피벗을 쓰면 퀵셀렉트의 기대 작업량은 n + n/2 + n/4 + ... = O(n)입니다. 피벗을 중앙값의 중앙값으로 고르면 최악의 경우도 선형이 됩니다.

답

B · 퀵셀렉트는 기대 O(n)에 실행되고, 중앙값의 중앙값은 최악의 경우 O(n)을 보장한다

3.자료구조

답: A · 루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다

이것이 답인 이유

가장 왼쪽 노드보다 작은 키는 트리에 없으므로 그것이 최솟값입니다. 비용은 높이에 비례합니다.

답

A · 루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다

4.자료구조

답: B · 중위 후속자(또는 선행자)로 대체한 다음 그 노드를 삭제한다

이것이 답인 이유

중위 후속자는 자식이 최대 하나뿐이므로, 그 키를 삭제할 노드에 복사한 뒤 쉽게 제거할 수 있습니다.

답

B · 중위 후속자(또는 선행자)로 대체한 다음 그 노드를 삭제한다

5.그래프 이론

답: 오일러 회로

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

홀수 정점

오일러 회로

답

오일러 회로

6.그래프 이론

답: N = 2

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 0

E: 0 1 1 0 0

공통 이웃

(M²)_EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

답

N = 2

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