자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

활동 선택 문제에서 겹치지 않는 활동의 수를 항상 최대로 만드는 탐욕적 규칙은 무엇입니까?

  1. A가장 일찍 시작하는 활동을 고른다
  2. B겹침이 가장 적은 활동을 먼저 고른 뒤, 호환되는 활동들로 반복한다
  3. C가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다
  4. D가장 짧은 활동을 먼저 고른다
2.알고리즘과 복잡도어려움

최단 단순 경로는 다항 시간에 찾을 수 있습니다. 일반 그래프에서 두 정점 사이의 최장 단순 경로를 찾는 것에 대해 알려진 것은 무엇입니까?

  1. ANP-hard이다
  2. B항상 O(V + E)에 풀 수 있다
  3. C결정 불가능하다
  4. D가중치를 음수로 바꾼 다익스트라 알고리즘으로 풀 수 있다
3.자료구조보통

크기가 7인 해시 테이블이 h(k) = k mod 7과 선형 탐사를 사용합니다. 10을 삽입한 뒤 17은 어디에 저장됩니까?

  1. A인덱스 4
  2. B인덱스 3
  3. C인덱스 6
  4. D인덱스 0
4.자료구조어려움

블룸 필터는 "이 원소가 집합에 있는가?"라는 질문에 어떻게 답합니까?

  1. A거짓 음성은 있을 수 있지만 거짓 양성은 없다
  2. B거짓 양성은 있을 수 있지만 거짓 음성은 없다
  3. C숫자에 대해서만 답한다
  4. D항상 정확한 답을 준다
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 11개이고 간선이 11개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 11|E| = 11
k =
6.그래프 이론어려움
63101121094ABCDEF

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 E까지의 최단 경로의 길이 d(E)을(를) 구하시오.

시작: A끝: E
d(E) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다

이것이 답인 이유

가장 이른 종료 시간을 고르는 것은 교환 논증으로 최적임을 증명할 수 있습니다. 다른 규칙에는 반례가 있습니다.

답

C · 가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다
2.알고리즘과 복잡도

답: A · NP-hard이다

이것이 답인 이유

길이 V − 1인 최장 단순 경로는 NP-complete 문제인 해밀턴 경로입니다. 다만 방향 비순환 그래프에서는 선형 시간에 풀 수 있습니다.

답

A · NP-hard이다
3.자료구조

답: A · 인덱스 4

이것이 답인 이유

10 mod 7 = 3이고 17 mod 7 = 3입니다. 인덱스 3이 차 있으므로 선형 탐사는 다음 칸인 인덱스 4를 시도합니다.

답

A · 인덱스 4
4.자료구조

답: B · 거짓 양성은 있을 수 있지만 거짓 음성은 없다

이것이 답인 이유

원소에 해당하는 비트 중 하나라도 0이면 확실히 없고, 모두 1이면 아마도 있습니다. 블룸 필터는 정확도를 일부 포기하는 대신 매우 적은 메모리를 사용합니다.

답

B · 거짓 양성은 있을 수 있지만 거짓 음성은 없다
5.그래프 이론

답: k = 1

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

11 − 1 = 10

제거할 간선

k = 11 − 10 = 1

답

k = 1
6.그래프 이론

답: d(E) = 10

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 6, C: 3
C (3): E: 15
B (6): D: 7, E: 10
D (7): F: 17
E (10)
F (17)

최단 경로

A → B → E
d(E) = 10

답

d(E) = 10

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