진법
- 자릿값
- 2진수 2k, 8진수 8k, 16진수 16k
- 10진수로
- Σ dk·bk
- 10진수에서
- 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
- 16진수 ↔ 2진수
- 16진수 한 자리 = 4비트
- 2의 보수
- 비트를 반전하고 1을 더함
디지털 전자공학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭
- 기본 게이트
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 불 규칙
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 드모르간 법칙
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 카르노 맵의 순서
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ칸의 그룹
- 변수 k개를 잃음
- 4-대-1 멀티플렉서
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 플립플롭
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 카운터
- n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; fout = fclk/N
- 리플 카운터
- fmax = 1/(n·tpd)
- 링 카운터와 존슨 카운터
- 상태 n개와 2n개
방법
- 회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
- 간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
- 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
- 플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.
데이터 수집과 표본화
- 나이퀴스트 조건
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- 에일리어스 주파수
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- 스텝 크기
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 양자화 오차(반올림)
- ±½ LSB
- 절사형 ADC 코드
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 분해능 r에 필요한 비트 수
- 2ᴺ ≥ span/r
- 이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- 데이터 전송률
- 채널 수 × fs × N bit/s
- 멀티플렉스 ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
- 보율 분주기
- baud = fclk/(16·D)
방법
- 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
- 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs|에 나타납니다.
- 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
- 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.
2연습 문제
1.진법보통
8비트 패턴 1010 1110는 부호 있는 정수를 2의 보수로 저장합니다. 10진수 값 N는 얼마일까요?
1010 11108 bit
N =
2.진법어려움
압축하지 않은 이미지가 640 × 480 픽셀이고 픽셀당 16비트입니다. 메모리 M를 몇 KiB(1 KiB = 1024바이트) 차지할까요?
640 × 480 px16 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통
카르노 맵으로 F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3)의 최소 합의 곱(POS) 형태를 구하시오. 합항(인수)은 몇 개(N)인가?
F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3)
N =
4.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움
3비트 리플(비동기) 카운터가 각각 전파 지연이 10 ns인 플립플롭으로 만들어져 있다. 다음 클록 에지 전에 모든 출력이 안정되어야 한다. 최대 클록 주파수 fmax을(를) 구하시오.
n = 3tpd = 10 ns
fmax = MHz
5.데이터 수집과 표본화보통
센서가 200 mm 범위의 거리을(를) 측정하며, 그 출력이 ADC의 입력 범위 전체를 채웁니다. 측정값은 0.1 mm을(를) 구분할 수 있어야 합니다. ADC에 필요한 최소 비트 수 N을(를) 구하시오.
범위 = 200 mm분해능 = 0.1 mm
N =
6.데이터 수집과 표본화어려움
16비트 ADC가 모든 표본을 9600 baud, 8E1 형식(시작 비트, 데이터 비트 8개, 짝수 패리티, 정지 비트 1개)의 UART로 계속 전송합니다. 각 표본은 2바이트로 전송되고 링크는 항상 사용 중입니다. 에일리어싱 없이 표본화할 수 있는 최고 신호 주파수 fmax을(를) Hz 단위로 구하시오.
baud = 9600 BdN = 168E1
fmax = Hz
3용액
1.진법
답: N = −82
위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.
자리값 더하기
나머지 비트는 원래의 양의 자리값을 유지합니다.
−128 + 32 + 8 + 4 + 2 = −82
답
N = −82
2.진법
답: M = 600 KiB
위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.
비트와 바이트
640·480·16 = 4915200 bit = 614400 B
KiB로 변환
614400/1024 = 600 KiB
답
M = 600 KiB
3.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭
답: N = 2
카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.
0 묶기
모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.
(B′ + C)
A′
최소 POS 형태
F = (B′ + C)A′
N = 2
답
N = 2
4.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭
답: fmax = 33.33 MHz
플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 fclk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.
최악의 안정화 시간
T = 3·10 ns = 30 ns
최대 주파수
fmax = 1/30 ns = 33.33 MHz
답
fmax = 33.33 MHz
5.데이터 수집과 표본화
답: N = 11
ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.
필요한 스텝 수
200/0.1 = 2000
비트
log₂(2000) = 10.97
210 = 1024 < 2000 ≤ 211 = 2048
N = 11
답
N = 11
6.데이터 수집과 표본화
답: fmax = 218.2 Hz
UART: 비동기 직렬 링크는 각 바이트를 프레임으로 보냅니다. 시작 비트 1개(low), 데이터 비트, 선택적 패리티 비트, 정지 비트 1~2개(high)입니다. 보율은 초당 비트 수이므로 한 비트는 Tb = 1/baud 동안 지속되고, n비트 프레임은 n/baud 동안 지속됩니다. 흔히 쓰는 8N1 형식은 바이트당 10비트입니다. 보율 발생기는 클록을 나눕니다: baud = fclk/(16·D)이며 D는 정수이므로 실제 보율은 목표값과 조금 다릅니다. 오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.
선로상의 표본당 비트 수
2·11 = 22 bit
최고 표본화율
fs,max = 9600/22 = 436.4 Hz
나이퀴스트 한계
fmax = 436.4/2 = 218.2 Hz
답
fmax = 218.2 Hz
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