디지털 전자공학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값
2진수 2k, 8진수 8k, 16진수 16k
10진수로
Σ dk·bk
10진수에서
기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수
16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수
비트를 반전하고 1을 더함

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서
00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹
변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
플립플롭
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터
n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; fout = fclk/N
리플 카운터
fmax = 1/(n·tpd)
링 카운터와 존슨 카운터
상태 n개와 2n개

방법

  1. 회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
  2. 간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
  3. 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
  4. 플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건
fs > 2·fmax, fN = fs/2
에일리어스 주파수
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
스텝 크기
1 LSB = VFSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림)
±½ LSB
절사형 ADC 코드
D = ⌊Vin/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수
2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률
채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기
baud = fclk/(16·D)

방법

  1. 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
  2. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs|에 나타납니다.
  3. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
  4. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

2연습 문제

1.진법보통
2의 보수의 자리값1−12816403201618141211

8비트 패턴 1100 1111는 부호 있는 정수를 2의 보수로 저장합니다. 10진수 값 N는 얼마일까요?

1100 11118 bit
N =
2.진법어려움
24비트, 부호 없음, N = ?????????????????????????

24비트에 들어가는 가장 큰 부호 없는 정수 N는 얼마일까요?

24 bit
N =
3.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통
ABCD000111100001111010111312041517160120130150141809011110

카르노 맵으로 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10)의 최소 곱의 합(SOP) 형태를 구하시오. 곱항은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10)
N =
4.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움
ABCD000111100001111010X103X214050716112013115014X819011110

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 6, 9, 10, 12, 15) + d(1, 2, 8)의 최소 SOP 형태를 구하시오. 리터럴은 몇 개(L)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 6, 9, 10, 12, 15) + d(1, 2, 8)
L =
5.데이터 수집과 표본화보통
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​PTb​11·Tb​4800 Bd, 8E1

UART가 4800 baud로 8E1 형식의 바이트를 보냅니다: 데이터 비트 8개, 짝수 패리티 비트 1개, 정지 비트 1개, 그리고 시작 비트. 초당 전송할 수 있는 데이터 바이트의 최대 개수를 구하시오.

baud = 4800 Bd8E1
RB = B/s
6.데이터 수집과 표본화어려움
f0fs​/2fs​2fs​3fs​400 Hz7f₁?

400 Hz 구형파를 안티에일리어싱 필터 없이 1 kHz로 표본화합니다. 구형파에는 홀수 고조파 3f₁, 5f₁, 7f₁, …가 들어 있습니다. 고조파 7f₁은 표본화된 데이터의 어느 주파수 fa에 나타납니까? Hz 단위로 답하시오.

f₁ = 400 Hzfs = 1 kHz고조파: 7f₁
fa = Hz

3용액

1.진법

답: N = −49

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

자리값 더하기

나머지 비트는 원래의 양의 자리값을 유지합니다.

−128 + 64 + 8 + 4 + 2 + 1 = −49

답

N = −49
2.진법

답: N = 1.678 × 10⁷

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

최댓값

224 − 1 = 16777215

답

N = 16777215
3.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 3

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

ABCD000111100001111010111312041517160120130150141809011110

1 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

B′D′
A′D
A′C

최소 SOP 형태

F = B′D′ + A′D + A′C
N = 3

답

N = 3
4.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 12

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

C′D′, B′D′, B′C′, A′D′, ABCD
ABCD000111100001111010X103X214050716112013115014X819011110

최소 덮개

F = C′D′ + B′D′ + B′C′ + A′D′ + ABCD
L = 12

답

L = 12
5.데이터 수집과 표본화

답: RB = 436.4 B/s

UART: 비동기 직렬 링크는 각 바이트를 프레임으로 보냅니다. 시작 비트 1개(low), 데이터 비트, 선택적 패리티 비트, 정지 비트 1~2개(high)입니다. 보율은 초당 비트 수이므로 한 비트는 Tb = 1/baud 동안 지속되고, n비트 프레임은 n/baud 동안 지속됩니다. 흔히 쓰는 8N1 형식은 바이트당 10비트입니다. 보율 발생기는 클록을 나눕니다: baud = fclk/(16·D)이며 D는 정수이므로 실제 보율은 목표값과 조금 다릅니다. 오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.

프레임당 비트 수

1 + 8 + 1 + 1 = 11

바이트 전송률

4800/11 = 436.4 B/s

답

RB = 436.4 B/s
6.데이터 수집과 표본화

답: fa = 200 Hz

표본화: ADC는 신호를 초당 fs번 측정합니다. 나이퀴스트-섀넌 정리에 따르면 주파수 f는 f < fs/2, 즉 나이퀴스트(접힘) 주파수보다 낮을 때만 올바르게 포착되므로, 표본화율은 신호 최고 주파수의 두 배를 넘어야 합니다. 더 높은 주파수는 사라지지 않고 fa = |f − k·fs|의 에일리어스로 나타나며, k는 결과가 0과 fs/2 사이가 되게 하는 정수입니다. 표본만으로는 둘을 구별할 수 없으므로 ADC 앞에서 아날로그 앤티에일리어싱 필터가 fs/2보다 높은 성분을 모두 제거해야 합니다.

고조파 주파수

7f₁ = 7·400 Hz = 2.8 kHz

표본화율의 가장 가까운 배수

m = round(2.8) = 3

에일리어스 주파수

fa = |2800 − 3·1000| = 200 Hz

답

fa = 200 Hz

에일리어스는 신호 대역 안에 놓이므로 디지털 필터로는 제거할 수 없습니다. ADC 앞의 아날로그 필터만 도움이 됩니다.

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