진법
- 자릿값
- 2진수 2k, 8진수 8k, 16진수 16k
- 10진수로
- Σ dk·bk
- 10진수에서
- 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
- 16진수 ↔ 2진수
- 16진수 한 자리 = 4비트
- 2의 보수
- 비트를 반전하고 1을 더함
디지털 전자공학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭
- 기본 게이트
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 불 규칙
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 드모르간 법칙
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 카르노 맵의 순서
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ칸의 그룹
- 변수 k개를 잃음
- 4-대-1 멀티플렉서
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 플립플롭
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 카운터
- n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; fout = fclk/N
- 리플 카운터
- fmax = 1/(n·tpd)
- 링 카운터와 존슨 카운터
- 상태 n개와 2n개
방법
- 회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
- 간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
- 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
- 플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.
데이터 수집과 표본화
- 나이퀴스트 조건
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- 에일리어스 주파수
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- 스텝 크기
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 양자화 오차(반올림)
- ±½ LSB
- 절사형 ADC 코드
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 분해능 r에 필요한 비트 수
- 2ᴺ ≥ span/r
- 이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- 데이터 전송률
- 채널 수 × fs × N bit/s
- 멀티플렉스 ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
- 보율 분주기
- baud = fclk/(16·D)
방법
- 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
- 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs|에 나타납니다.
- 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
- 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.
2연습 문제
1.진법보통
8비트 패턴 1101 0001는 부호 있는 정수를 2의 보수로 저장합니다. 10진수 값 N는 얼마일까요?
1101 00018 bit
N =
2.진법어려움
압축하지 않은 이미지가 1024 × 768 픽셀이고 픽셀당 16비트입니다. 메모리 M를 몇 KiB(1 KiB = 1024바이트) 차지할까요?
1024 × 768 px16 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통
카르노 맵으로 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 5, 7, 10, 13)의 최소 곱의 합(SOP) 형태를 구하시오. 전체 리터럴은 몇 개(L)인가(프라임이 붙은 변수도 리터럴 하나로 센다)?
F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 5, 7, 10, 13)
L =
4.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움
4비트 시프트 레지스터 Q₃Q₂Q₁Q₀가 1011을(를) 담고 있다. 클록 에지마다 비트가 오른쪽으로 한 칸씩 이동하고(Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀, Q₀는 사라진다) 직렬 입력이 Q₃로 들어온다. 직렬 입력은 5 에지에서 0, 1, 1, 0, 1이다. 최종 상태 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀를 십진수로 답하시오.
Q₃Q₂Q₁Q₀ = 10110, 1, 1, 0, 1
Q =
5.데이터 수집과 표본화보통
풀스케일 사인파에 대한 24비트 ADC의 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR을(를) 구하시오.
N = 24
SQNR = dB
6.데이터 수집과 표본화어려움
오디오 측정에 풀스케일 사인파에 대해 이상적인 신호 대 양자화 잡음비가 최소 90 dB 필요합니다. 필요한 최소 ADC 비트 수 N을(를) 구하시오.
SQNR ≥ 90 dB
N =
3용액
1.진법
답: N = −47
위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.
자리값 더하기
나머지 비트는 원래의 양의 자리값을 유지합니다.
−128 + 64 + 16 + 1 = −47
답
N = −47
2.진법
답: M = 1536 KiB
위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.
비트와 바이트
1024·768·16 = 12582912 bit = 1572864 B
KiB로 변환
1572864/1024 = 1536 KiB
답
M = 1536 KiB
3.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭
답: L = 12
카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.
1 묶기
모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.
B′CD′
BC′D
A′CD
A′B′D′
최소 SOP 형태
F = B′CD′ + BC′D + A′CD + A′B′D′
L = 12
답
L = 12
4.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭
답: Q = 11
플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 fclk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.
에지마다의 상태
1011 → 0101 → 1010 → 1101 → 0110 → 1011
십진수 값
1011₂ = 11
답
Q = 11
5.데이터 수집과 표본화
답: SQNR = 146.2 dB
ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.
이상적인 SQNR
SQNR = 6.02·24 + 1.76 = 146.2 dB
답
SQNR = 146.2 dB
6.데이터 수집과 표본화
답: N = 15
ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.
N에 대해 풀기
N ≥ (90 − 1.76)/6.02 = 14.66
올림하기
N = 15
검산: 6.02·15 + 1.76 = 92.06 dB ≥ 90 dB
답
N = 15
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