X = {1, 2, …, 7}에서 x ≡ y (mod 3)일 때 관계 x ~ y가 성립한다. 동치류 [1]에는 원소가 몇 개 있는가?
X = {1, …, 7}x ~ y ⟺ 3 | (x − y)
|[1]| =
5.그래프 이론보통
완전그래프 K4의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.
K4
H =
6.그래프 이론어려움
프림 알고리즘이 정점 A에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 3번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.
시작: Ak = 3
1간선 AB
2간선 BC
3간선 BD
4간선 CE
5간선 DE
6간선 DF
7간선 EF
8간선 GC
9간선 GE
7.정수론과 모듈러 연산보통
41을(를) 법으로 하는 23의 역원, 곧 0 < x < 41이고 23·x ≡ 1 (mod 41)인 수 x을(를) 구하시오.
a = 23n = 41
23−1 mod 41 =
8.정수론과 모듈러 연산어려움
RSA 키가 p = 23, q = 37, e = 5를 쓴다. 암호문 c = 636을(를) 복호화하시오. 메시지 m을(를) 구하시오.
p = 23q = 37e = 5c = 636
m =
3용액
1.명제논리와 증명
답: 모순
논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
행별 진리표
a = 1, b = 1: a ∧ b = 1, (a ∧ b) → a = 1, ¬((a ∧ b) → a) = 0
a = 1, b = 0: a ∧ b = 0, (a ∧ b) → a = 1, ¬((a ∧ b) → a) = 0
a = 0, b = 1: a ∧ b = 0, (a ∧ b) → a = 1, ¬((a ∧ b) → a) = 0
a = 0, b = 0: a ∧ b = 0, (a ∧ b) → a = 1, ¬((a ∧ b) → a) = 0
분류
¬((a ∧ b) → a): 0, 0, 0, 0
모든 행에서 0: 모순.
답
모순
2.명제논리와 증명
답: ∀x ∃y ¬R(x, y)
한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.
부정을 안쪽으로 옮기기
¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)
답
∀x ∃y ¬R(x, y)
다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.
3.집합, 관계, 함수
답: 대칭
관계: 집합 X 위의 관계 R은 순서쌍 (x, y)의 집합입니다. X의 모든 x에 대해 (x, x) ∈ R이면 R은 반사적, (x, y) ∈ R이면 항상 (y, x) ∈ R도 성립하면 대칭적, (x, y)와 (y, x)가 모두 R에 있는 경우가 x = y일 때뿐이면 반대칭적, R에 (x, y)와 (y, z)가 있으면 (x, z) ∈ R이어야 하면 추이적입니다. 동치 관계는 반사적이고 대칭적이며 추이적이고, X를 서로소인 류로 나눕니다.
반사적
성립하지 않음: (3, 3) ∉ R
대칭
성립
반대칭적
성립하지 않음: (1, 2), (2, 1) ∈ R
추이적
성립하지 않음: (1, 2), (2, 4) ∈ R, (1, 4) ∉ R
답
대칭
4.집합, 관계, 함수
답: |[1]| = 3
관계: 집합 X 위의 관계 R은 순서쌍 (x, y)의 집합입니다. X의 모든 x에 대해 (x, x) ∈ R이면 R은 반사적, (x, y) ∈ R이면 항상 (y, x) ∈ R도 성립하면 대칭적, (x, y)와 (y, x)가 모두 R에 있는 경우가 x = y일 때뿐이면 반대칭적, R에 (x, y)와 (y, z)가 있으면 (x, z) ∈ R이어야 하면 추이적입니다. 동치 관계는 반사적이고 대칭적이며 추이적이고, X를 서로소인 류로 나눕니다.
류
[1] = {1, 4, 7}
|[1]| = 3
답
|[1]| = 3
5.그래프 이론
답: H = 3
오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.
세기
H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3
답
H = 3
6.그래프 이론
답: 간선 GC
최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.
프림 알고리즘
1. AB (2)
2. BC (4)
3. GC (5)
4. BD (10)
5. DF (6)
6. GE (11)
간선 번호 3
GC
답
간선 GC
7.정수론과 모듈러 연산
답: 23−1 mod 41 = 25
역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
확장 유클리드 알고리즘
각 나머지 r은 r ≡ t·23 (mod 41)로 쓸 수 있습니다.
r = 41, t = 0
r = 23, q = 1, t = 1
r = 18, q = 1, t = −1
r = 5, q = 3, t = 2
r = 3, q = 1, t = −7
r = 2, q = 1, t = 9
r = 1, q = 2, t = −16
역행렬
1 ≡ −16·23 (mod 41)
x = 25
검산: 23·25 = 575 = 14·41 + 1
답
23−1 mod 41 = 25
8.정수론과 모듈러 연산
답: m = 382
모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.