이산수학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

집합, 관계, 함수

집합 두 개: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
집합 세 개: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
차집합과 여집합: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
멱집합과 곱집합: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
크기 k인 부분집합: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
함수 A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n개 원소 위의 관계: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
합성: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

방법

벤 다이어그램을 그리고, 집합식에 속하는 영역을 영역별로 판단하세요.
개수를 세는 문제에서는 가운데에서 바깥쪽으로 영역을 채우세요. 모든 집합, 그다음 두 집합씩, 그다음 한 집합, 마지막으로 바깥쪽 순서입니다.
포함·배제 원리로 확인하세요: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
관계는 모든 쌍에서 각 성질을 검사하고, 성립하지 않으면 반례를 하나 드세요.
함수는 B의 각 원소로 들어오는 화살표를 세세요. 많아야 하나이면 단사이고, 적어도 하나이면 전사입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

2연습 문제

1.명제논리와 증명보통

¬(q ∨ r)와(과) 논리적으로 동치인 식은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬(q ∨ r)

1¬q ∧ ¬r
2¬q ∧ r
3¬q ∨ ¬r
4q ∨ ¬r

2.명제논리와 증명어려움

부정을 가장 안쪽까지 옮긴 ¬∃x A(x)와(과) 동치인 문장은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬∃x A(x)

1∃x A(x)
2∃x ¬A(x)
3∀x A(x)
4∀x ¬A(x)

3.집합, 관계, 함수보통

1학년 학생 41명 중 14명이 수학(M), 22명이 물리(P), 18명이 화학(C)에 합격했다. 6명이 M과 P에, 9명이 M과 C에, 12명이 P와 C에 합격했고 5명이 세 과목 모두에 합격했다. 세 집합 어디에도 속하지 않는 것은 몇 개인가?

|U| = 41

|(M ∪ P ∪ C)′| =

4.집합, 관계, 함수어려움

{1, 2, 3, 4, 5} 위의 함수 f와 g가 표로 주어져 있다. (f ∘ g)(2)을(를) 구하시오.

f: 1 ↦ 5, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 2, 5 ↦ 3g: 1 ↦ 3, 2 ↦ 4, 3 ↦ 3, 4 ↦ 1, 5 ↦ 2

(f ∘ g)(2) =

5.그래프 이론보통

트리에 차수가 4인 정점 2개, 차수가 5인 정점 3개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

2 × deg 43 × deg 5

L =

6.그래프 이론어려움

A에서 E까지 가는 길이 2의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

오일러 피 함수 φ(27), 곧 1부터 27까지의 정수 중 27와(과) 서로소인 수의 개수를 구하시오.

n = 27 = 3³

φ(27) =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

RSA 키가 소수 p = 31, q = 41과 공개 지수 e = 7를 쓴다. 개인 지수 d(0 < d < φ(n))을(를) 구하시오.

p = 31q = 41e = 7

d =

3용액

1.명제논리와 증명

답: ¬q ∧ ¬r

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

법칙

드모르간: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b. ∨가 ∧로 바뀌고 두 부분이 모두 부정됩니다.

¬(q ∨ r) ≡ ¬q ∧ ¬r

진리표로 확인

q = 1, r = 1: 0 | 0 0 0 1

q = 1, r = 0: 0 | 0 0 1 1

q = 0, r = 1: 0 | 0 1 1 0

q = 0, r = 0: 1 | 1 0 1 1

답

¬q ∧ ¬r

막대 뒤의 열은 보기를 표시된 순서대로 나타낸 것입니다.

2.명제논리와 증명

답: ∀x ¬A(x)

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

부정을 안쪽으로 옮기기

¬∃x A(x) ≡ ∀x ¬A(x)

답

∀x ¬A(x)

다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.

3.집합, 관계, 함수

답: |(M ∪ P ∪ C)′| = 9

집합과 벤 다이어그램: A ∪ B는 A 또는 B(또는 둘 다)에 속하는 원소, A ∩ B는 둘 다에 속하는 원소, A − B는 A의 원소 중 B에 속하지 않는 원소이고, 여집합 A′는 U의 원소 중 A에 속하지 않는 모든 것입니다. 벤 다이어그램에서 모든 집합식은 영역들의 합집합이므로 영역별로 세세요. 포함·배제: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, 그리고 |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

가운데와 쌍

M ∩ P ∩ C: 5

M ∩ P 만: 6 − 5 = 1

M ∩ C 만: 9 − 5 = 4

P ∩ C 만: 12 − 5 = 7

한 집합씩

M 만: 14 − 1 − 4 − 5 = 4

P 만: 22 − 1 − 7 − 5 = 9

C 만: 18 − 4 − 7 − 5 = 2

답

|M ∪ P ∪ C| = 32

|(M ∪ P ∪ C)′| = 41 − 32 = 9

답

|(M ∪ P ∪ C)′| = 9

4.집합, 관계, 함수

답: (f ∘ g)(2) = 2

함수와 세기: 함수 f: A → B는 A의 모든 원소에 B의 상을 정확히 하나씩 대응시킵니다. 서로 다른 원소가 서로 다른 상을 가지면 f는 단사(일대일), B의 모든 원소가 상이면 전사(위로의 함수), 둘 다 성립하면 전단사입니다. |A| = m, |B| = n이면 함수는 nᵐ개, 단사 함수는 n!/(n − m)!개(m ≤ n)이고, 포함·배제에 따라 전사 함수는 Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ개입니다. |𝒫(A)| = 2ᵐ, |A × B| = m·n입니다.

안쪽 함수

g(2) = 4

바깥쪽 함수

f(4) = 2

(f ∘ g)(2) = 2

답

(f ∘ g)(2) = 2

5.그래프 이론

답: L = 15

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 23 = 2(L + 5) − 2

L = 15

답

L = 15

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: N = 2

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 0 1 1 0

C: 1 0 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 1

E: 0 1 1 1 0 1

F: 0 0 0 1 1 0

공통 이웃

(M²)_AE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 0·1 = 2

답

N = 2

7.정수론과 모듈러 연산

답: φ(27) = 18

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

소인수

27 = 3³

오일러 피 함수 값

φ(27) = 27 − 9 = 18

답

φ(27) = 18

8.정수론과 모듈러 연산

답: d = 343

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

법과 오일러 피 함수 값

n = 31·41 = 1271

φ(n) = 30·40 = 1200

확장 유클리드 알고리즘

r = 1200, t = 0

r = 7, q = 171, t = 1

r = 3, q = 2, t = −171

r = 1, q = 3, t = 343

개인 지수

d = 343

검산: 7·343 = 2401 = 2·1200 + 1

답

d = 343

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