이산수학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

집합, 관계, 함수

집합 두 개: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
집합 세 개: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
차집합과 여집합: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
멱집합과 곱집합: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
크기 k인 부분집합: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
함수 A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
n개 원소 위의 관계: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
합성: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

방법

벤 다이어그램을 그리고, 집합식에 속하는 영역을 영역별로 판단하세요.
개수를 세는 문제에서는 가운데에서 바깥쪽으로 영역을 채우세요. 모든 집합, 그다음 두 집합씩, 그다음 한 집합, 마지막으로 바깥쪽 순서입니다.
포함·배제 원리로 확인하세요: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
관계는 모든 쌍에서 각 성질을 검사하고, 성립하지 않으면 반례를 하나 드세요.
함수는 B의 각 원소로 들어오는 화살표를 세세요. 많아야 하나이면 단사이고, 적어도 하나이면 전사입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

2연습 문제

1.명제논리와 증명보통

(b ∧ a) → c을(를) 대우법으로 증명하려 한다. 대신 어떤 함의를 증명해야 하는가? 클릭하세요.

(b ∧ a) → c

1¬c → ¬(b ∧ a)
2¬(b ∧ a) → ¬c
3(b ∧ a) ∧ ¬c
4c → (b ∧ a)

2.명제논리와 증명어려움

부정을 가장 안쪽까지 옮긴 ¬∀x ∃y R(x, y)와(과) 동치인 문장은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬∀x ∃y R(x, y)

1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∃y ∀x ¬R(x, y)
4∀x ∃y ¬R(x, y)

3.집합, 관계, 함수보통

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (4, 2), (4, 4)}은(는) {1, 2, 3, 4} 위의 관계이다. R을 추이적으로 만들려면 추가해야 하는 순서쌍은 최소 몇 개(k)인가(추이적 폐포의 크기에서 |R|을 뺀 값)?

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (4, 2), (4, 4)}

k =

4.집합, 관계, 함수어려움

{1, …, 10} 위의 동치 관계 R의 류는 {4}, {2, 7}, {1, 3, 8, 9}, {5, 6, 10}이다. R에는 순서쌍이 몇 개 있는가? 그 수를 |R|(이)라 하자.

{4}{2, 7}{1, 3, 8, 9}{5, 6, 10}

|R| =

5.그래프 이론보통

트리에 차수가 5인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

2 × deg 5

L =

6.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F

d(F) =

7.정수론과 모듈러 연산보통

x ≡ 5 (mod 11)이고 x ≡ 12 (mod 13)인 가장 작은 양의 정수 x을(를) 구하시오.

x ≡ 5 (mod 11)x ≡ 12 (mod 13)

x =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

59은(는) 소수이다. 페르마의 소정리를 이용해 10⁷⁴³¹³ mod 59을(를) 구하시오.

p = 59k = 74313

10⁷⁴³¹³ mod 59 =

3용액

1.명제논리와 증명

답: ¬c → ¬(b ∧ a)

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

함의의 부분

a = b ∧ a, b = c

대우

¬b → ¬a = ¬c → ¬(b ∧ a)

답

¬c → ¬(b ∧ a)

대우는 원래 문장과 동치이므로 대우를 증명하면 원래 문장이 증명됩니다.

2.명제논리와 증명

답: ∃x ∀y ¬R(x, y)

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

부정을 안쪽으로 옮기기

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

답

∃x ∀y ¬R(x, y)

다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.

3.집합, 관계, 함수

답: k = 2

관계: 집합 X 위의 관계 R은 순서쌍 (x, y)의 집합입니다. X의 모든 x에 대해 (x, x) ∈ R이면 R은 반사적, (x, y) ∈ R이면 항상 (y, x) ∈ R도 성립하면 대칭적, (x, y)와 (y, x)가 모두 R에 있는 경우가 x = y일 때뿐이면 반대칭적, R에 (x, y)와 (y, z)가 있으면 (x, z) ∈ R이어야 하면 추이적입니다. 동치 관계는 반사적이고 대칭적이며 추이적이고, X를 서로소인 류로 나눕니다.

추가할 쌍

{(2, 2), (4, 1)}

세기

k = 2

답

k = 2

4.집합, 관계, 함수

답: |R| = 30

류별 쌍

|R| = 1² + 2² + 4² + 3² = 30

답

|R| = 30

5.그래프 이론

답: L = 8

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 10 = 2(L + 2) − 2

L = 8

답

L = 8

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: d(F) = 13

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 1, C: 15

B (1): C: 8, D: 12, G: 9

C (8): E: 19

G (9)

D (12): F: 13

F (13)

E (19)

최단 경로

A → B → D → F

d(F) = 13

답

d(F) = 13

7.정수론과 모듈러 연산

답: x = 38

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

첫 번째 합동식

x = 5 + 11k

두 번째 합동식

5 + 11k ≡ 12 (mod 13) → 11k ≡ 7 (mod 13)

k ≡ 6·7 ≡ 3 (mod 13)

결과

x = 5 + 11·3 = 38

x = 38

검산: 38 mod 11 = 5, 38 mod 13 = 12

답

x = 38

8.정수론과 모듈러 연산

답: 10⁷⁴³¹³ mod 59 = 52

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

지수 줄이기

74313 mod 58 = 15

10⁷⁴³¹³ ≡ 10¹⁵ (mod 59)

작은 거듭제곱

10¹⁵ mod 59 = 52

답

10⁷⁴³¹³ mod 59 = 52

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