전기공학개론: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

마디 해석

키르히호프 전류 법칙
ΣIin = ΣIout
가지 전류
I = (Va − Vb)/R
기준 마디
Vground = 0

방법

  1. 기준 마디(접지)를 정하고 나머지 마디 전압에 이름을 붙이세요.
  2. 미지의 마디마다 키르히호프 전류 법칙을 쓰세요. 각 가지로 나가는 전류의 합은 들어오는 전류의 합과 같습니다.
  3. 모든 가지 전류를 (Va − Vb)/R로 나타내세요.
  4. 연립방정식을 푼 다음 필요한 전류를 구하세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

변압기

권수비
a = N1/N2 = V1/V2
전류비
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
정격 전류
I = S/V
환산 임피던스
Z1′ = a²·ZL
부분 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl
효율
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
최대 효율
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2연습 문제

1.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩIR2​AR4​10 ΩB

R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.

V1 = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
2.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩIR2​AR4​8 ΩBR6​2 Ω

R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 ΩR4 = 8 ΩR5 = 6 ΩR6 = 2 Ω
IR2 = A
3.마디 해석보통
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAR4​15 ΩBIs​2 A

마디 해석법을 이용해 화살표 방향으로 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.

V1 = 18 VIs = 2 AR1 = 20 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
4.마디 해석어려움
R1​ = 6 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 10 ΩIR4​+−V1​36 VR3​2 ΩAR5​12 ΩBIs​1 A−+V2​24 V

마디 해석법을 이용해 화살표 방향으로 R4에 흐르는 전류 IR4을(를) 구하시오.

V1 = 36 VIs = 1 AV2 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩR4 = 10 ΩR5 = 12 Ω
IR4 = A
5.테브난·노턴보통
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩARL​20 ΩIL​B

a–b 사이에 부하 RL = 20 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩRL = 20 Ω
IL = A
6.테브난·노턴어려움
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAIs​4 ABRL​3 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 3 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 6 VIs = 4 AR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩRL = 3 Ω
IL = A
7.RC·RL 과도 현상보통
+−Vs​15 Vt = 0R = 47 ΩL47 mHi(t)

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 50%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

Vs = 15 VR = 47 ΩL = 47 mH
t = ms
8.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​15 Vt = 0R = 6.8 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 12 V이다. vC이(가) 14.4 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

Vs = 15 VR = 6.8 kΩC = 10 µFvC(0) = 12 V
t = ms
9.교류 임피던스와 페이저보통
230 V50 HzR = 50 ΩL = 50 mHI

저항과 인덕터가 230 V(실효값), 50 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 50 mH
φ = °
10.교류 임피던스와 페이저어려움
VfR = 100 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF

직렬 RLC 회로의 R = 100 Ω, L = 200 mH, C = 2.2 µF이다. 공진에서의 선택도 Q을(를) 구하시오.

R = 100 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF
Q =
11.교류 전력과 역률보통
240 VZ3 + j4 ΩI

임피던스 Z = 3 + j4 Ω인 부하가 240 V(실효값) 단상 전원에 연결되어 있다. 피상 전력 S을(를) 구하시오.

V = 240 VZ = 3 + j4 Ω
S = VA
12.교류 전력과 역률어려움
400 V60 Hz부하18 kW, 0.65C150 µFI

단상 부하가 400 V, 60 Hz 전원에서 지상 역률 0.65로 18 kW를 소비한다. 150 µF 커패시터를 부하와 병렬로 연결한다. 전원에서 본 새 역률 cos φ을(를) 구하시오.

P = 18 kWpf1 = 0.65V = 400 Vf = 60 HzC = 150 µF
cos φ =
13.3상 전력보통
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M7.5 kW, η = 88%cos φ = 0.9

3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 7.5 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 88%, 역률은 0.9(지상)이다. 전원의 선간 전압은 480 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.

Pout = 7.5 kWη = 88%cos φ = 0.9VL = 480 V
IL = A
14.3상 전력어려움
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 690 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.78(지상)로 100 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 100 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.변압기보통
RL​ = 10 Ω1012300 VV2​I1​ = ?I2​

권수비 N₁:N₂ = 10:1인 이상 변압기의 1차 권선에 2300 V가 가해진다. 2차 권선 양단에 10 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 전류 I1을(를) 구하시오.

N1:N2 = 10:1V1 = 2300 VRL = 10 Ω
I1 = A
16.변압기어려움
pf 0.8525 kVA, η = 96.5%

단상 25 kVA 변압기의 철손은 100 W이다. 정격 부하, 역률 0.85(지상)에서 효율은 96.5%이다. 전부하 동손 Pcu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.

S = 25 kVAPcore = 100 Wpf = 0.85η = 96.5%
Pcu,fl = W

3용액

1.저항의 직렬·병렬

답: IR2 = 0.6 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​10 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 2 + 10 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 12·12/(12+12) = 6 Ω
Req = R1 + 6 = 4 + 6 = 10 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 12/10 = 1.2 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1.2·4 = 7.2 V
IR2 = VA/R2 = 7.2/12 = 0.6 A

답

IR2 = 0.6 A
2.저항의 직렬·병렬

답: IR2 = 0.5233 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAR4​8 ΩBR6​2 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 6 + 2 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 4 Ω
R3 + 4 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 4.615 Ω
Req = R1 + 4.615 = 2 + 4.615 = 6.615 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 15/6.615 = 2.267 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 2.267·2 = 10.47 V
IR2 = VA/R2 = 10.47/20 = 0.5233 A

답

IR2 = 0.5233 A
3.마디 해석

답: IR1 = 0.4258 A

마디 해석법: 기준 마디를 정하고, 모르는 마디 전압에 이름을 붙인 다음, 옴의 법칙 (I = ΔV/R)을 써서 각 미지 마디에서 키르히호프 전류 법칙을 세우고 연립 방정식을 풉니다.

R1​ = 20 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAR4​15 ΩBIs​2 A

마디 설정

접지는 아래 도선입니다. 알고 있는 마디 전압은 전원에서 바로 나옵니다 (V1 = 18 V). 미지수: VA, VB.

마디 A에서 KCL

저항을 통해 A에서 나가는 전류는 전원이 A(으)로 밀어 넣는 전류와 같습니다.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/8 + (VA − 18)/20 + (VA − VB)/12 = 0
0.2583·VA − 0.08333·VB = 0.9

마디 B에서 KCL

저항을 통해 B에서 나가는 전류는 전원이 B(으)로 밀어 넣는 전류와 같습니다.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/12 = 2
−0.08333·VA + 0.15·VB = 2

풀기

Δ = (0.2583)(0.15) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.03181
VA = Δ1/Δ = 0.3017/0.03181 = 9.485 V
VB = Δ2/Δ = 0.5917/0.03181 = 18.6 V

답

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (18 − 9.485)/20 = 0.4258 A
4.마디 해석

답: IR4 = 1.432 A

마디 해석법: 기준 마디를 정하고, 모르는 마디 전압에 이름을 붙인 다음, 옴의 법칙 (I = ΔV/R)을 써서 각 미지 마디에서 키르히호프 전류 법칙을 세우고 연립 방정식을 풉니다.

R1​ = 6 ΩR2​ = 10 ΩR4​ = 10 Ω+−V1​36 VR3​2 ΩAR5​12 ΩBIs​1 A−+V2​24 V

마디 설정

접지는 아래 도선입니다. 알고 있는 마디 전압은 전원에서 바로 나옵니다 (V1 = 36 V, V2 = −24 V). 미지수: VA, VB.

마디 A에서 KCL

저항을 통해 A에서 나가는 전류는 전원이 A(으)로 밀어 넣는 전류와 같습니다.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/2 + (VA − 36)/6 + (VA − VB)/10 = 0
0.7667·VA − 0.1·VB = 6

마디 B에서 KCL

저항을 통해 B에서 나가는 전류는 전원이 B(으)로 밀어 넣는 전류와 같습니다.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/12 + (VB − VA)/10 + (VB − (−24))/10 = (−1)
−0.1·VA + 0.2833·VB = −3.4

풀기

Δ = (0.7667)(0.2833) − (−0.1)(−0.1) = 0.2072
VA = Δ1/Δ = 1.36/0.2072 = 6.563 V
VB = Δ2/Δ = −2.007/0.2072 = −9.684 V

답

IR4 = (VB − V2)/R4 = (−9.684 − −24)/10 = 1.432 A
5.테브난·노턴

답: IL = 0.05882 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω단락R2​3 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 6·3/(6+3) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 12 = 14 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·3/(6+3) = 2 V
Rth​ = 14 Ω+−Vth​2 VRL​20 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 2/(14 + 20) = 0.05882 A
6.테브난·노턴

답: IL = 3.263 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω단락R2​12 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 4 = 7.529 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4.235 + 4·3.529 = 18.35 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 18.35 + 4·4 = 34.35 V
Rth​ = 7.529 Ω+−Vth​34.35 VRL​3 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 34.35/(7.529 + 3) = 3.263 A
7.RC·RL 과도 현상

답: t = 0.6931 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A

시간에 대해 풀기

0.5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)
t = −1·ln(0.5) = 0.6931 ms

답

t = 0.6931 ms
8.RC·RL 과도 현상

답: t = 109.4 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 10 µF = 68 ms
vC(t) = 15 + (12 − 15)·e−t/τ

시간에 대해 풀기

14.4 = 15 + (−3)·e−t/τ → e−t/τ = (14.4 − 15)/(12 − 15) = 0.2
t = τ·ln((12 − 15)/(14.4 − 15)) = 68·ln(5) = 109.4 ms

답

t = 109.4 ms
9.교류 임피던스와 페이저

답: φ = 72.56 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

XL = ωL = 2π·50·0.05 = 15.71 Ω

가지 전류

두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.

IR = V/R = 230/50 = 4.6 A
IX = V/XL = 230/15.71 = 14.64 A

전체 전류

저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.

I = √(IR² + IX²) = √(4.6² + 14.64²) = 15.35 A

위상각

인덕터 전류는 V보다 뒤지므로 전체 전류도 뒤지고 각은 양수입니다.

φ = arctan(IX/IR) = arctan(14.64/4.6) = 72.56°

답

φ = 72.56°
10.교류 임피던스와 페이저

답: Q = 3.015

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 주파수

f0 = 1/(2π·√(0.2·2.2·10⁻⁶)) = 239.9 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.2/(2.2·10⁻⁶)) = 3.015

답

Q = 3.015
11.교류 전력과 역률

답: S = 11520 VA

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

전류

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω
I = V/|Z| = 240/5 = 48 A

피상 전력

S = V·I = 240·48 = 11520 VA

답

S = 11520 VA
12.교류 전력과 역률

답: cos φ = 0.8321

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = 18·tan(arccos 0.65) = 21.04 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·60·150·10⁻⁶ = 9048 var = 9.048 kvar
Q2 = 21.04 − 9.048 = 12 kvar

새 피상 전력

S2 = √(18² + 12²) = 21.63 kVA

새 역률

cos φ = P/S2 = 18/21.63 = 0.8321

답

cos φ = 0.8321
13.3상 전력

답: IL = 11.39 A

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

전기 입력 전력

Pin = Pout/η = 7.5/0.88 = 8.523 kW

선전류

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 8523/(√3·480·0.9) = 11.39 A

답

IL = 11.39 A
14.3상 전력

답: Cph = 70.86 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0.78) = 100·0.8023 = 80.23 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.9) = 100·0.4843 = 48.43 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 31.8 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 10599/(314.2·690²) = 70.86 µF

답

Cph = 70.86 µF
15.변압기

답: I1 = 2.3 A

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

2차 전압과 전류

V2 = 2300/10 = 230 V
I2 = 230/10 = 23 A

1차 전류

이상 변압기에는 손실이 없습니다: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/10 = 2.3 A

답

I1 = 2.3 A

확인: 1차 측에서 본 부하는 a²·RL = 1000 Ω이고, 2300/1000도 같은 전류를 줍니다.

16.변압기

답: Pcu,fl = 670.7 W

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

출력 전력과 입력 전력

Pout = 25·0.85 = 21.25 kW
Pin = 21250/0.965 = 22021 W

전체 손실과 동손

Ploss = 22021 − 21250 = 770.7 W
Pcu,fl = 770.7 − 100 = 670.7 W

답

Pcu,fl = 670.7 W

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