전자회로 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

다이오드와 트랜지스터

다이오드(정전압 강하 모델): V_D = 0.7 V when conducting
활성 영역: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
고정 바이어스: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
전압 분배 바이어스: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
분압기의 테브난 등가: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
컬렉터 루프: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
포화: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

연산 증폭기 회로

반전 증폭기: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
비반전 증폭기: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
가산 증폭기: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
이상적인 연산 증폭기: V₊ = V₋, I_in = 0

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

DC-DC 컨버터

강압(벅): V_o = D·V_in
승압(부스트): V_o = V_in/(1 − D)
반전 벅-부스트: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
이상적인 전력 평형: V_inI_in = V_oI_o
인덕터 리플: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
평균 인덕터 전류: 강압 I_o; 승압과 벅-부스트 I_o/(1 − D)
출력 리플: 강압 ΔI_L/(8fC); 승압과 벅-부스트 I_o·D/(fC)
CCM 경계: 강압 (1 − D)R/(2f); 승압 D(1 − D)²R/(2f); 벅-부스트 (1 − D)²R/(2f)

방법

컨버터(강압, 승압, 벅-부스트)를 식별하고 전압비로부터 듀티비 D를 구하세요.
인덕터의 볼트-초 평형을 쓰세요. 한 주기 동안 인덕터 평균 전압은 0입니다.
스위치가 켜져 있는 동안의 인덕터 전압을 구한 뒤 ΔI_L = V_L·D/(L·f)를 쓰세요.
출력 리플은 커패시터로 들어가고 나오는 전하를 구하고, CCM 경계는 평균 인덕터 전류를 ΔI_L/2와 같게 놓으세요.

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
배설량: V_ab = V_a − V_b
균형: R₁/R₂ = R₃/R₄
슬라이드 와이어 브리지: R/R_x = l/(100 − l)
테브난 저항: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
게이지율: ΔR/R = GF·ε
브리지 출력: 1/4 브리지 V_s·GF·ε/4, 1/2 브리지 V_s·GF·ε/2, 풀 브리지 V_s·GF·ε
미소 변화, 한 변: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
응력: σ = E·ε

방법

브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
불평형 브리지는 분압기에서 V_a와 V_b를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 V_s·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

2연습 문제

1.다이오드와 트랜지스터보통

2 빨강개의 LED(각각 순방향 전압 2 V)가 저항과 직렬로 9 V 전원에 연결되어 있습니다. 전류를 25 mA로 정하는 저항 R을(를) 구하시오.

V_s = 9 VV_F = 2 Vn = 2I = 25 mA

R = Ω

2.다이오드와 트랜지스터어려움

5.1 V 제너 레귤레이터가 부하에 최대 20 mA를 공급해야 합니다. 입력은 20 V까지 떨어질 수 있고, 제너가 조정 상태를 유지하려면 최소 2 mA가 필요합니다. 조정 상태를 유지하는 최대 직렬 저항 R_max을(를) 구하시오.

V_in,min = 20 VV_Z = 5.1 VI_L,max = 20 mAI_Z,min = 2 mA

R_max = Ω

3.연산 증폭기 회로보통

연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 출력은 ±13 V에서 포화된다. 비반전 증폭기를 사인파로 구동한다. 출력이 잘리지 않는 최대 입력 진폭 V_in,max(최댓값)을(를) 구하시오.

R₁ = 2 kΩR_f = 4.7 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

4.연산 증폭기 회로어려움

가산 증폭기는 ±15 V 전원의 이상 연산 증폭기를 사용한다. 귀환 저항을 통해 출력 쪽으로 흐르는 전류 I_f을(를) 구하시오.

V₁ = 0.8 VV₂ = 1.6 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 1 kΩ

I_f = mA

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 15 ms에서 인덕터에 저장된 에너지 W을(를) mJ로 구하시오.

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 220 mHt = 15 ms

W = mJ

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 20 V이다. v_C이(가) 16.7 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 9 VR = 3.3 kΩC = 47 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

8.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC 컨버터보통

이상적인 강압 컨버터가 스위칭 주파수 100 kHz에서 48 V를 28.8 V로 바꿉니다. 인덕터 리플 전류의 피크 투 피크 값을 1.5 A로 유지하는 인덕턴스 L을(를) 구하시오.

Vin = 48 VVo = 28.8 Vf = 100 kHzΔI_L = 1.5 A

L = µH

10.DC-DC 컨버터어려움

이상적인 반전 벅-부스트 컨버터가 100 kHz에서 2 Ω 부하에 대해 9 V를 −9 V로 바꿉니다. 연속 전도 모드를 위한 최소 인덕턴스 L_crit을(를) 구하시오.

Vin = 9 VVo = −9 Vf = 100 kHzR = 2 Ω

L_crit = µH

11.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통

브리지의 네 변이 모두 330 Ω이고 V_s = 2 V입니다. 센서 R₂가 ΔR = 1.65 Ω만큼 증가합니다. 미소 변화 근사를 써서 출력 V_ab을(를) mV 단위로 구하시오.

V_s = 2 VR = 330 ΩΔR = 1.65 Ω

V_ab = mV

12.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움

1/4 브리지(능동 게이지 하나, GF = 2.1)에 3 V를 여기합니다. 측정해야 할 최대 변형률은 250 µε이며, 이것이 아날로그-디지털 변환기의 입력에서 3.3 V가 되어야 합니다. 증폭기 이득 G을(를) 구하시오.

V_s = 3 VGF = 2.1ε_max = 250 µεV_FS = 3.3 V

G =

13.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

F = AC′ + AB′ + A′B′C + BC을(를) 최소 곱의 합 형태로 간소화하시오. 간소화한 식에는 리터럴이 몇 개(L) 있는가?

F = AC′ + AB′ + A′B′C + BC

L =

14.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 4, 7, 9, 10, 13) + d(8, 12, 15)의 최소 SOP 형태를 구하시오. 곱항은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 4, 7, 9, 10, 13) + d(8, 12, 15)

N =

3용액

1.다이오드와 트랜지스터

답: R = 200 Ω

LED와 다이오드 회로: 순방향 바이어스된 LED는 전류와 관계없이 대략 순방향 전압 V_F(빨강은 약 2 V, 파랑이나 흰색은 약 3 V)만큼 전압이 떨어집니다. 직렬 저항이 전류를 정합니다: 직렬 LED n개에 대해 R = (V_s − n·V_F)/I. 더 정확한 다이오드 모델 V = V₀ + I·r_d에서는 동작점이 다이오드 직선과 부하선 I = (V_s − V)/R이 만나는 곳이므로 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)입니다.

저항 양단의 전압

V_R = 9 − 2·2 = 5 V

저항

R = 5/0.025 = 200 Ω

답

R = 200 Ω

저항은 125 mW를 소비합니다.

2.다이오드와 트랜지스터

답: R_max = 677.3 Ω

제너 레귤레이터: 역방향 바이어스된 제너 다이오드는 전류가 최소값 I_Z,min 이상인 동안 전압 V_Z를 유지합니다. 직렬 저항 R이 입력과 출력의 차이를 받습니다: I_R = (V_in − V_Z)/R. 이 전류는 부하 I_L = V_Z/R_L과 제너 I_Z = I_R − I_L로 나뉩니다. 최악의 경우에 맞춰 설계하세요: 입력이 가장 낮고 부하가 가장 클 때도 I_Z,min이 남아야 하고, 입력이 가장 높고 부하가 없을 때 제너 전력 P_Z = V_Z·I_Z가 가장 큽니다.

최악의 경우의 전류

I_R = 20 + 2 = 22 mA

최대 저항

R_max = 14.9/0.022 = 677.3 Ω

답

R_max = 677.3 Ω

3.연산 증폭기 회로

답: V_in,max = 3.881 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

이득

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 4.7/2 = 3.35

잘리기 전의 최대 입력

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/3.35 = 3.881 V

답

V_in,max = 3.881 V

4.연산 증폭기 회로

답: I_f = 0.2429 mA

입력 전류

V₋ = 0이므로 각 입력 저항에는 입력 전압 전체가 걸립니다.

I₁ = V₁/R₁ = 0.8/4.7 = 0.1702 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.6/22 = 0.07273 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.2429 mA

답

I_f = 0.2429 mA

5.RC·RL 과도 현상

답: W = 11.64 mJ

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6.667 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0.3636 A

주어진 시각의 전류

i(t) = 0.3636·(1 − e^−15/6.667) = 0.3253 A

저장된 에너지

W = ½·L·i² = ½·220·0.3253² = 11.64 mJ

답

W = 11.64 mJ

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 55.32 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 47 µF = 155.1 ms

v_C(t) = 9 + (20 − 9)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

16.7 = 9 + (11)·e^−t/τ → e^−t/τ = (16.7 − 9)/(20 − 9) = 0.7

t = τ·ln((20 − 9)/(16.7 − 9)) = 155.1·ln(1.429) = 55.32 ms

답

t = 55.32 ms

7.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 1.519 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 6 + 2 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω

R_eq = R₁ + 2.182 = 5 + 2.182 = 7.182 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/7.182 = 2.089 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 2.089·5 = 4.557 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4.557/3 = 1.519 A

답

I_R2 = 1.519 A

8.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 17.46 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 8 + 30 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 1.9 Ω

R₃ + 1.9 = 11.9 Ω

R₂ ∥ 11.9 = 7.461 Ω

R_eq = R₁ + 7.461 = 10 + 7.461 = 17.46 Ω

답

R_eq = 17.46 Ω

9.DC-DC 컨버터

답: L = 76.8 µH

DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) V_o = D·V_in, 승압(부스트) V_o = V_in/(1 − D), 반전 벅-부스트 |V_o| = V_in·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: V_in·I_in = V_o·I_o. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔI_L = V_L·D·T/L만큼 증가하며, V_L은 강압에서는 V_in − V_o, 승압과 벅-부스트에서는 V_in입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔV_o = ΔI_L/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 I_o·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔI_L/2와 같을 때입니다.

듀티비

D = 28.8/48 = 0.6

인덕턴스

L = 19.2·0.6/(1.5·100·10³) = 76.8 µH

답

L = 76.8 µH

10.DC-DC 컨버터

답: L_crit = 2.5 µH

듀티비

D = 9/(9 + 9) = 0.5

경계 조건

평균 인덕터 전류를 리플 전류의 절반과 같게 놓고 L에 대해 푸세요.

L_crit = (1 − D)²·R/(2f)

임계 인덕턴스

L_crit = (1 − 0.5)²·2/(2100·10³) = 2.5 µH

답

L_crit = 2.5 µH

11.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: V_ab = 2.5 mV

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 V_s를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R₁–R₂는 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)를, 오른쪽 분압기 R₃–R₄는 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)를 주며, 출력은 V_ab = V_a − V_b입니다. 브리지는 R₁/R₂ = R₃/R₄, 즉 R₁·R₄ = R₂·R₃일 때 평형(V_ab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄인 테브난 전원입니다.

상대 변화

ΔR/R = 1.65/330 = 0.005

선형화한 출력

V_ab ≈ 2·0.005/4 = 2.5 mV

답

V_ab = 2.5 mV

정확한 값은 2.494 mV입니다. ΔR/R이 작을 때는 근사가 잘 맞습니다.

12.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: G = 8381

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 V_o ≈ V_s·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 V_s·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 V_s·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

풀 스케일에서의 브리지 출력

V_o = 0.3938 mV

이득

G = 3.3/0.0003938 = 8381

답

G = 8381

13.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 2

불 대수: 식을 간소화하는 규칙은 X + X′ = 1과 X·X′ = 0, X + X = X, 흡수 법칙 X + X·Y = X, 결합 규칙 X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y, 그리고 합의 정리 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z입니다. 드모르간 법칙은 (X·Y)′를 X′ + Y′로, (X + Y)′를 X′·Y′로 바꿉니다. 카르노 맵은 이 규칙들을 그림으로 적용합니다. 이웃한 두 칸의 그룹은 모두 XY + XY′ = X를 한 번 쓴 것입니다.

식의 최소항

AC′ → m(4, 6)

AB′ → m(4, 5)

A′B′C → m(1)

BC → m(3, 7)

묶어서 읽기

F = C + A

리터럴 세기

L = 2

답

L = 2

14.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 5

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

C′D′, B′D′, B′C′, BCD, AC′, ABD

최소 덮개

F = C′D′ + B′D′ + B′C′ + BCD + AC′

N = 5

답

N = 5

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