전자회로 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

다이오드와 트랜지스터

다이오드(정전압 강하 모델): V_D = 0.7 V when conducting
활성 영역: V_BE = 0.7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
고정 바이어스: I_B = (V_CC − 0.7)/R_B
전압 분배 바이어스: I_B = (V_TH − 0.7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
분압기의 테브난 등가: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
컬렉터 루프: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
포화: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

연산 증폭기 회로

반전 증폭기: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
비반전 증폭기: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
가산 증폭기: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
이상적인 연산 증폭기: V₊ = V₋, I_in = 0

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

DC-DC 컨버터

강압(벅): V_o = D·V_in
승압(부스트): V_o = V_in/(1 − D)
반전 벅-부스트: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
이상적인 전력 평형: V_inI_in = V_oI_o
인덕터 리플: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
평균 인덕터 전류: 강압 I_o; 승압과 벅-부스트 I_o/(1 − D)
출력 리플: 강압 ΔI_L/(8fC); 승압과 벅-부스트 I_o·D/(fC)
CCM 경계: 강압 (1 − D)R/(2f); 승압 D(1 − D)²R/(2f); 벅-부스트 (1 − D)²R/(2f)

방법

컨버터(강압, 승압, 벅-부스트)를 식별하고 전압비로부터 듀티비 D를 구하세요.
인덕터의 볼트-초 평형을 쓰세요. 한 주기 동안 인덕터 평균 전압은 0입니다.
스위치가 켜져 있는 동안의 인덕터 전압을 구한 뒤 ΔI_L = V_L·D/(L·f)를 쓰세요.
출력 리플은 커패시터로 들어가고 나오는 전하를 구하고, CCM 경계는 평균 인덕터 전류를 ΔI_L/2와 같게 놓으세요.

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
배설량: V_ab = V_a − V_b
균형: R₁/R₂ = R₃/R₄
슬라이드 와이어 브리지: R/R_x = l/(100 − l)
테브난 저항: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
게이지율: ΔR/R = GF·ε
브리지 출력: 1/4 브리지 V_s·GF·ε/4, 1/2 브리지 V_s·GF·ε/2, 풀 브리지 V_s·GF·ε
미소 변화, 한 변: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
응력: σ = E·ε

방법

브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
불평형 브리지는 분압기에서 V_a와 V_b를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 V_s·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

2연습 문제

1.다이오드와 트랜지스터보통

6.2 V 제너 레귤레이터에 100 Ω을 통해 9 V를 공급하며 1000 Ω 부하에 전력을 줍니다. 제너 전류 I_Z을(를) 구하시오.

V_in = 9 VV_Z = 6.2 VR = 100 ΩR_L = 1000 Ω

I_Z = mA

2.다이오드와 트랜지스터어려움

다이오드를 5 Ω과 직렬인 0.7 V로 모델링합니다(0.7 V 이상에서 도통). 이 다이오드가 220 Ω 저항과 직렬로 9 V 전원에 연결되어 있습니다. 다이오드 직선과 부하선이 만나는 동작 전류 I_D을(를) 구하시오.

V_s = 9 VR = 220 ΩV₀ = 0.7 Vr_d = 5 Ω

I_D = mA

3.연산 증폭기 회로보통

연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 출력 전압 V_out을(를) 구하시오.

V_in = 0.4 VR₁ = 47 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

4.연산 증폭기 회로어려움

연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 저항비가 맞지 않는다. 출력 전압 V_out을(를) 구하시오.

V₁ = 0.1 VV₂ = 1.6 VR₁ = 10 kΩR₂ = 22 kΩR₃ = 10 kΩR₄ = 2 kΩ

V_out = V

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 5 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

6.RC·RL 과도 현상어려움

R₂ 양단의 스위치가 오랫동안 열려 있었으므로 인덕터 전류는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 닫혀 R₂을(를) 단락한다. t = 15 ms에서의 인덕터 전류 i을(를) 구하시오.

V_s = 24 VR₁ = 22 ΩR₂ = 10 ΩL = 150 mHt = 15 ms

i = A

7.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

8.저항의 직렬·병렬어려움

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

9.DC-DC 컨버터보통

이상적인 승압 컨버터가 8 Ω 부하에 대해 15 V를 60 V로 바꿉니다. 평균 인덕터 전류 I_L을(를) 구하시오.

Vin = 15 VVo = 60 VR = 8 Ω

I_L = A

10.DC-DC 컨버터어려움

강압 컨버터가 500 kHz, L = 100 µH에서 12 V를 7.2 V로 바꿉니다. 연속 전도 모드를 유지하는 최소 부하 전류 I_o,min을(를) 구하시오.

Vin = 12 VVo = 7.2 Vf = 500 kHzL = 100 µH

I_o,min = A

11.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통

브리지의 네 변이 모두 250 Ω이고 V_s = 5 V입니다. 센서 R₂가 ΔR = 1.25 Ω만큼 증가합니다. 미소 변화 근사를 써서 출력 V_ab을(를) mV 단위로 구하시오.

V_s = 5 VR = 250 ΩΔR = 1.25 Ω

V_ab = mV

12.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움

게이지율 2인 120 Ω 스트레인 게이지가 강철 막대에 부착되어 있습니다. 하중을 받으면 저항이 0.048 Ω 증가합니다. 변형률 ε을(를) 마이크로 스트레인(µε) 단위로 구하시오.

R = 120 ΩGF = 2ΔR = 0.048 Ω

ε = µε

13.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C, D) = Σm(4, 5, 9, 10, 11, 14, 15)의 최소 합의 곱(POS) 형태를 구하시오. 합항(인수)은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(4, 5, 9, 10, 11, 14, 15)

N =

14.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(0, 6, 10, 11, 13, 15) + d(2, 12)의 필수 소 임플리컨트의 개수 N을(를) 구하시오.

F(A, B, C, D) = Σm(0, 6, 10, 11, 13, 15) + d(2, 12)

N =

3용액

1.다이오드와 트랜지스터

답: I_Z = 21.8 mA

제너 레귤레이터: 역방향 바이어스된 제너 다이오드는 전류가 최소값 I_Z,min 이상인 동안 전압 V_Z를 유지합니다. 직렬 저항 R이 입력과 출력의 차이를 받습니다: I_R = (V_in − V_Z)/R. 이 전류는 부하 I_L = V_Z/R_L과 제너 I_Z = I_R − I_L로 나뉩니다. 최악의 경우에 맞춰 설계하세요: 입력이 가장 낮고 부하가 가장 클 때도 I_Z,min이 남아야 하고, 입력이 가장 높고 부하가 없을 때 제너 전력 P_Z = V_Z·I_Z가 가장 큽니다.

저항 전류

I_R = 2.8/100 = 28 mA

부하 전류

I_L = 6.2/1000 = 6.2 mA

제너 전류

I_Z = 28 − 6.2 = 21.8 mA

답

I_Z = 21.8 mA

2.다이오드와 트랜지스터

답: I_D = 36.89 mA

LED와 다이오드 회로: 순방향 바이어스된 LED는 전류와 관계없이 대략 순방향 전압 V_F(빨강은 약 2 V, 파랑이나 흰색은 약 3 V)만큼 전압이 떨어집니다. 직렬 저항이 전류를 정합니다: 직렬 LED n개에 대해 R = (V_s − n·V_F)/I. 더 정확한 다이오드 모델 V = V₀ + I·r_d에서는 동작점이 다이오드 직선과 부하선 I = (V_s − V)/R이 만나는 곳이므로 I = (V_s − V₀)/(R + r_d)입니다.

두 식을 결합하기

9 = 0.7 + I·(220 + 5)

동작 전류

I_D = 8.3/225 = 36.89 mA

V_D = 0.7 + 0.03689·5 = 0.8844 V

답

I_D = 36.89 mA

3.연산 증폭기 회로

답: V_out = 0.8 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

반전 입력이 입력을 따라감

V₋ = V₊ = 0.4 V

I = V₋/R₁ = 0.4/47 = 0.008511 mA

출력 전압

R₁의 전류는 R_f에도 흐릅니다.

V_out = V₋ + I·R_f = 0.4 + 0.008511·47 = 0.8 V

답

V_out = 0.8 V

4.연산 증폭기 회로

답: V_out = 0.6333 V

+ 입력의 전압

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1.6·2/(10 + 2) = 0.2667 V

두 입력의 중첩

V₂ = 0이면 V₁은 반전 증폭기로 보입니다. V₁ = 0이면 V₊가 비반전 이득 1 + R₂/R₁로 증폭됩니다.

V_out = −(22/10)·0.1 + (1 + 22/10)·0.2667 = −0.22 + 0.8533 = 0.6333 V

답

V_out = 0.6333 V

5.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.4404 A

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2.35 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0.5 A

주어진 시각의 전류

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.5·(1 − e^−5/2.35) = 0.4404 A

답

i = 0.4404 A

6.RC·RL 과도 현상

답: i = 1.053 A

초기값, 최종값, 시정수

t = 0 전에는 두 저항이 모두 루프에 있고, 그 후에는 닫힌 스위치가 R₂를 우회합니다.

i(0) = 24/(22 + 10) = 0.75 A

i(∞) = 24/22 = 1.091 A

τ = L/R = 150/22 = 6.818 ms

i(t) = 1.091 + (0.75 − 1.091)·e^−t/τ

주어진 시각의 전류

i(15) = 1.091 + (−0.3409)·e^−15/6.818 = 1.053 A

답

i = 1.053 A

7.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 5.5 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 20 + 8 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 4·28/(4+28) = 3.5 Ω

R_eq = R₁ + 3.5 = 2 + 3.5 = 5.5 Ω

답

R_eq = 5.5 Ω

8.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.5309 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 4 + 2 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 1.5 Ω

R₃ + 1.5 = 16.5 Ω

R₂ ∥ 16.5 = 3.837 Ω

R_eq = R₁ + 3.837 = 15 + 3.837 = 18.84 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/18.84 = 0.5309 A

답

I_R1 = 0.5309 A

9.DC-DC 컨버터

답: I_L = 30 A

DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) V_o = D·V_in, 승압(부스트) V_o = V_in/(1 − D), 반전 벅-부스트 |V_o| = V_in·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: V_in·I_in = V_o·I_o. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔI_L = V_L·D·T/L만큼 증가하며, V_L은 강압에서는 V_in − V_o, 승압과 벅-부스트에서는 V_in입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔV_o = ΔI_L/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 I_o·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔI_L/2와 같을 때입니다.

듀티비

D = 1 − 15/60 = 0.75

부하 전류

I_o = 60/8 = 7.5 A

인덕터 전류

I_L = I_o/(1 − D) = 7.5/0.25 = 30 A

답

I_L = 30 A

10.DC-DC 컨버터

답: I_o,min = 0.0288 A

듀티비

D = 7.2/12 = 0.6

리플 전류

ΔI_L = 7.2·0.4/(100·10⁻⁶·500·10³) = 0.0576 A

경계 부하 전류

I_o,min = ΔI_L/2 = 0.0288 A

답

I_o,min = 0.0288 A

이 전류보다 낮아지면 컨버터는 불연속 전도 모드로 들어가며 V_o가 D·V_in보다 높아집니다.

11.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: V_ab = 6.25 mV

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 V_s를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R₁–R₂는 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)를, 오른쪽 분압기 R₃–R₄는 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)를 주며, 출력은 V_ab = V_a − V_b입니다. 브리지는 R₁/R₂ = R₃/R₄, 즉 R₁·R₄ = R₂·R₃일 때 평형(V_ab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄인 테브난 전원입니다.

상대 변화

ΔR/R = 1.25/250 = 0.005

선형화한 출력

V_ab ≈ 5·0.005/4 = 6.25 mV

답

V_ab = 6.25 mV

정확한 값은 6.234 mV입니다. ΔR/R이 작을 때는 근사가 잘 맞습니다.

12.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: ε = 200 µε

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 V_o ≈ V_s·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 V_s·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 V_s·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

상대 저항 변화

ΔR/R = 0.048/120 = 0.0004

변형률

ε = 0.0004/2 = 0.0002 = 200 µε

답

ε = 200 µε

13.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 4

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

0 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

(B + C + D)

(A + C′)

(A + B)

(A′ + B′ + C)

최소 POS 형태

F = (B + C + D)(A + C′)(A + B)(A′ + B′ + C)

N = 4

답

N = 4

같은 크기의 다른 묶음도 있으며, 항과 리터럴의 수는 같습니다.

14.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 2

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

B′CD′, A′CD′, ACD, A′B′D′, ABD, AB′C, ABC′

필수 소 임플리컨트

A′CD′, A′B′D′

N = 2

답

N = 2

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