수리학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2연습 문제

1.정수압보통

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 3 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.정수압어려움

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.연속 방정식과 베르누이보통

물이 100 mm에서 50 mm(으)로 좁아지는 수평관을 흐른다. 넓은 부분의 압력은 180 kPa, 유속은 1.75 m/s이다. 손실을 무시하고 좁은 부분의 압력 p₂을(를) 구하시오.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 180 kPav₁ = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.연속 방정식과 베르누이어려움

분수 노즐이 똑바로 위를 향한다. 노즐 바로 아래 공급관의 지름은 75 mm, 계기 압력은 100 kPa이다. 노즐 출구 지름은 30 mm이며 노즐 전후의 높이 차는 무시할 수 있다. 손실과 공기 저항을 무시하고 분류가 노즐 위로 올라가는 높이 H을(를) 구하시오. g = 9.81 m/s²를 사용하시오.

d₁ = 75 mmp₁ = 100 kPa (게이지압)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

5.관 마찰과 손실 수두보통

물(ρ = 1000 kg/m³)이 길이 500 m, 안지름 300 mm인 수평 관을 1.5 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.015, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 관 전체의 압력 강하 Δp을(를) kPa 단위로 구하시오.

V = 1.5 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.관 마찰과 손실 수두어려움

두 개방 저수지가 길이 150 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.022인 관으로 연결되어 있다. 위 저수지의 수면은 아래 저수지 수면보다 5 m 높다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 Q을(를) L/s 단위로 구하시오.

Δz = 5 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

7.펌프와 펌프 동력보통

펌프가 양정 72 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 50 L/s 송출한다. 펌프 효율은 78%이고, 펌프를 구동하는 전동기의 효율은 88%이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 전동기가 소비하는 전력 P_el을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 50 L/sH = 72 mη_pump = 78%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 50 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 8 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 300 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.025이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 6(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 70%이다. 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 50 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 6η = 70%

P_shaft = kW

9.개수로 흐름(매닝)보통

사다리꼴 마감된 콘크리트 수로의 바닥 폭은 2.5 m, 측면 경사는 2:1(수평:연직)이다. 물이 수심 0.6 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.012, 수로 바닥 경사는 S = 0.0015이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 2.5 my = 0.6 mz = 2n = 0.012S = 0.0015

Q = m³/s

10.개수로 흐름(매닝)어려움

폭 5.5 m인 직사각형 마감된 콘크리트 수로가 수심 0.9 m의 등류로 7.1 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.012. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 7.1 m³/sb = 5.5 my = 0.9 mn = 0.012

S = m/m

3용액

1.정수압

답: F = 68.67 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·2 = 68.67 kN

답

F = 68.67 kN

2.정수압

답: F = 92.7 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.5·3 = 92.7 kN

답

F = 92.7 kN

3.연속 방정식과 베르누이

답: p₂ = 157 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/50)² = 7 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 7²)/1000 = −22.97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 180 + (−22.97) = 157 kPa

답

p₂ = 157 kPa

4.연속 방정식과 베르누이

답: H = 10.46 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

출구 유속

β = 30/75 = 0.4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·100000/(1000·0.9744)) = 14.33 m/s

분류의 높이

분류를 따른 베르누이 식: 꼭대기에서 유속은 0이고 압력은 다시 대기압입니다.

H = v₂²/(2g) = 14.33²/(2·9.81) = 10.46 m

답

H = 10.46 m

5.관 마찰과 손실 수두

답: Δp = 28.13 kPa

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

손실 수두

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(500/0.3)·1.5²/(2·9.81) = 2.867 m

압력 강하

관이 수평이고 유속이 변하지 않으므로 에너지 방정식은 Δp = ρ·g·h_f가 됩니다.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·2.867 = 28125 Pa = 28.13 kPa

답

Δp = 28.13 kPa

6.관 마찰과 손실 수두

답: Q = 63.65 L/s

손실 계수

f·L/D = 0.022·150/0.2 = 16.5

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

에너지 방정식

두 수면 모두 대기에 열려 있고 사실상 정지해 있으므로 Δz 전체가 관에서 손실됩니다.

5 = (16.5 + 7.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·5/23.9) = 2.026 m/s

유량

Q = V·π·D²/4 = 2.026·0.03142 = 0.06365 m³/s = 63.65 L/s

답

Q = 63.65 L/s

7.펌프와 펌프 동력

답: P_el = 51.45 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·72 = 35.32 kW

축동력

P_shaft = 35.32/0.78 = 45.28 kW

전기 입력 동력

P_el = 45.28/0.88 = 51.45 kW

답

P_el = 51.45 kW

8.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 21.62 kW

속도

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 6)·0.408 = 22.85 m

펌프 양정

H = Δz + h_L = 8 + 22.85 = 30.85 m

축동력

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·30.85/0.7 = 21.62 kW

답

P_shaft = 21.62 kW

9.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 4.071 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 2·0.6)·0.6 = 2.22 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·0.6·√(1 + 2²) = 5.183 m

R = A/P = 0.4283 m

속도

V = (1/0.012)·0.4283^2/3·0.0015^1/2 = 1.834 m/s

유량

Q = A·V = 2.22·1.834 = 4.071 m³/s

답

Q = 4.071 m³/s

10.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.0004973 m/m

단면 형상

A = b·y = 5.5·0.9 = 4.95 m²

P = b + 2y = 5.5 + 2·0.9 = 7.3 m

R = A/P = 0.6781 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.012·7.1/(4.95·0.7718) = 0.0223

S = 0.0223² = 0.0004973

답

S = 0.0004973

1킬로미터당 0.4973 m의 낙차입니다.

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