수리학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

정수압

깊이에 따른 압력
p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘
F = ρg·hc·A
압력 중심
yp = yc + Ic/(ycA)
직사각형
Ic = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식
A1v1 = A2v2
베르누이 방정식
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
유량
Q = A·v
원의 넓이
A = πd²/4

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역
Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속
V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실
hm = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값
입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하
Δp = ρ·g·hf
두 개의 개방 저수지
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

펌프와 펌프 동력

수동력
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력
Pshaft = Ph/ηpump
전기 입력 동력
Pel = Pshaft/ηmotor
펌프 양정
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
시스템 손실
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식
V = (1/n)·R2/3·S1/2
유량
Q = A·V
동수 반경
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형
A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수
R = D/4
필요 경사
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2연습 문제

1.정수압보통
수문d = 2.5 mH = 1.5 m

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
수문d = 0.5 mH = 1.5 m

폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.연속 방정식과 베르누이보통
Q = ?d = 30 mm, Cd​ = 0.62h = 1 m

큰 열린 탱크의 물이 지름 30 mm의 예연 오리피스로 빠져나간다. 수위는 오리피스보다 1 m 위로 유지되고 유량 계수는 0.62이다. 유량 Q을(를) 구하시오. g = 9.81 m/s²를 사용하시오.

d = 30 mmh = 1 mCd = 0.62g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.연속 방정식과 베르누이어려움
C211.5 m1 md = 40 mmpC​ = ?

안지름 40 mm의 호스로 열린 탱크의 물을 사이펀으로 빼낸다. 호스의 가장 높은 점 C는 수면보다 1.5 m 위에 있고, (대기에 열린) 출구는 수면보다 1 m 아래에 있다. 손실을 무시하고 g = 9.81 m/s²로 하시오. 점 C의 절대 압력 pC을(를) 구하시오. 대기압은 101.3 kPa이다.

d = 40 mmzC = +1.5 mz2 = −1 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.관 마찰과 손실 수두보통
V = 1.3 m/sD = 250 mmL = 300 mf = 0.03

물이 길이 300 m, 안지름 250 mm인 관을 평균 유속 1.3 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.03, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 hf을(를) 구하시오.

V = 1.3 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.관 마찰과 손실 수두어려움
K = 5자유 유출구H = ?L = 150 m, D = 250 mm, f = 0.023× 엘보 (K = 0.3)

길이 150 m, 안지름 250 mm(다르시 마찰 계수 f = 0.02)인 관이 개방 저수지에서 나와 대기 중으로 자유 분류로 유출된다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 60 L/s를 얻으려면 저수지 수면이 관 출구보다 얼마나 높아야 하는가(H)?

Q = 60 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5
H = m
7.펌프와 펌프 동력보통
PQ = 60 L/sH = 36 m

시험에서 펌프가 양정 36 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 60 L/s 송출하고, 이때 축 동력은 26.5 kW이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율 η을(를) 퍼센트로 구하시오.

Q = 60 L/sH = 36 mPshaft = 26.5 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.펌프와 펌프 동력어려움
PQ = 40 L/sΔz = 11 mL = 150 m, D = 200 mm, f = 0.02, ΣK = 8

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 40 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 11 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 150 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.02이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 40 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 8
H = m
9.개수로 흐름(매닝)보통
b = 6 my = 1.9 m1.5 : 1n = 0.015, S = 0.0015

사다리꼴 벽돌 쌓기 수로의 바닥 폭은 6 m, 측면 경사는 1.5:1(수평:연직)이다. 물이 수심 1.9 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.015, 수로 바닥 경사는 S = 0.0015이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 6 my = 1.9 mz = 1.5n = 0.015S = 0.0015
Q = m³/s
10.개수로 흐름(매닝)어려움
b = 1.5 my = 1.2 m1.5 : 1n = 0.012, Q = 9.9 m³/s

바닥 폭 1.5 m, 측면 경사 1.5:1(수평:연직)인 사다리꼴 마감된 콘크리트 수로가 수심 1.2 m의 등류로 9.9 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.012. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 9.9 m³/sb = 1.5 my = 1.2 mz = 1.5n = 0.012
S = m/m

3용액

1.정수압

답: F = 71.74 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
수문d = 2.5 mH = 1.5 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·2.25 = 71.74 kN

답

F = 71.74 kN
2.정수압

답: F = 23.18 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
수문d = 0.5 mH = 1.5 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.25·1.5 = 23.18 kN

답

F = 23.18 kN
3.연속 방정식과 베르누이

답: Q = 1.941 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

이상 분류 속도

√(2gh) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

실제 유량

유량 계수는 분류의 수축과 가장자리의 마찰을 반영합니다.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0.62·0.0007069·4.429 = 0.001941 m³/s = 1.941 L/s

답

Q = 1.941 L/s
4.연속 방정식과 베르누이

답: pC = 76.78 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

호스 안의 유속

수면과 출구는 모두 대기에 열려 있으므로 압력 항이 상쇄됩니다.

v = √(2g·1) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

수면에서 C까지의 베르누이 식

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(4.429²/2 + 9.81·1.5)/1000 = 101.3 − 24.53 = 76.78 kPa

답

pC = 76.78 kPa

이 압력이 물의 증기압까지 떨어지면 사이펀은 작동을 멈춥니다.

5.관 마찰과 손실 수두

답: hf = 3.101 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도 수두

V²/(2g) = 1.3²/(2·9.81) = 0.08614 m

다르시–바이스바흐 식

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(300/0.25)·1.3²/(2·9.81) = 3.101 m

답

hf = 3.101 m
6.관 마찰과 손실 수두

답: H = 1.477 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도

V = Q/A = 0.06/0.04909 = 1.222 m/s
V²/(2g) = 0.07615 m

손실 계수

f·L/D = 0.02·150/0.25 = 12
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4

에너지 방정식

출구 분류는 여전히 속도 수두를 가지고 있습니다. 손실은 아니지만 공급되어야 합니다.

H = (1 + 12 + 6.4)·0.07615 = 1.477 m

답

H = 1.477 m
7.펌프와 펌프 동력

답: η = 79.96 %

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·36 = 21.19 kW

효율

η = Ph/Pshaft = 21.19/26.5 = 79.96%

답

η = 79.96%
8.펌프와 펌프 동력

답: H = 12.9 m

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

속도

V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s
V²/(2g) = 0.08263 m

손실 수두

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0.08263 = 1.9 m

펌프 양정

두 수면 모두 개방되어 있고 사실상 정지해 있으므로 압력 항과 속도 항은 없어집니다.

H = Δz + hL = 11 + 1.9 = 12.9 m

답

H = 12.9 m
9.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 51.94 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (6 + 1.5·1.9)·1.9 = 16.81 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1.9·√(1 + 1.5²) = 12.85 m
R = A/P = 1.309 m

속도

V = (1/0.015)·1.3092/3·0.00151/2 = 3.089 m/s

유량

Q = A·V = 16.81·3.089 = 51.94 m³/s

답

Q = 51.94 m³/s
10.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.001506 m/m

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 1.5·1.2)·1.2 = 3.96 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.2·√(1 + 1.5²) = 5.827 m
R = A/P = 0.6796 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.012·9.9/(3.96·0.773) = 0.03881
S = 0.03881² = 0.001506

답

S = 0.001506

1킬로미터당 1.506 m의 낙차입니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering