정수압
- 깊이에 따른 압력
- p = ρgh
- 수직 벽에 작용하는 힘
- F = ρg·hc·A
- 압력 중심
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 직사각형
- Ic = bH³/12
수리학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
연속 방정식과 베르누이
- 연속 방정식
- A1v1 = A2v2
- 베르누이 방정식
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 유량
- Q = A·v
- 원의 넓이
- A = πd²/4
관 마찰과 손실 수두
- 레이놀즈 수
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 유동 영역
- Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
- 평균 유속
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 다르시–바이스바흐 식
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 부차 손실
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 대표적인 K 값
- 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
- 압력 강하
- Δp = ρ·g·hf
- 두 개의 개방 저수지
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 자유 유출
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
펌프와 펌프 동력
- 수동력
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 축동력
- Pshaft = Ph/ηpump
- 전기 입력 동력
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 펌프 양정
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 시스템 손실
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
개수로 흐름(매닝)
- 매닝 공식
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 유량
- Q = A·V
- 동수 반경
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 직사각형
- A = b·y, P = b + 2y
- 사다리꼴(측면 경사 z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 원형 관, 만수 또는 반수
- R = D/4
- 필요 경사
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2연습 문제
1.정수압보통
폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 3 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 바닷물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 ycp을(를) 구하시오.
d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.연속 방정식과 베르누이보통
입구 지름 200 mm, 목 지름 150 mm인 수평 벤투리미터에 물이 흐른다. 입구의 압력은 목보다 30 kPa 높다. 손실을 무시하고 유량 Q을(를) 구하시오.
d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 30 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.연속 방정식과 베르누이어려움
밀폐된 물탱크의 수면 위에 계기 압력 200 kPa의 압축 공기가 있다. 물은 수면보다 1 m 아래에 있는 지름 40 mm의 구멍을 통해 대기 중으로 나간다. 손실을 무시하고 다음을 구하시오: 분류 속도 v. g = 9.81 m/s²를 쓴다.
pair = 200 kPa (게이지압)h = 1 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
5.관 마찰과 손실 수두보통
물이 길이 300 m, 안지름 150 mm인 관을 25 L/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.018, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 hf을(를) 구하시오.
Q = 25 L/sL = 300 mD = 150 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.관 마찰과 손실 수두어려움
두 개방 저수지가 길이 400 m, 안지름 250 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 10), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 50 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?
Q = 50 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.펌프와 펌프 동력보통
효율 82%인 펌프가 양정 70 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 10 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.
Q = 10 L/sH = 70 mη = 82%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.펌프와 펌프 동력어려움
펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 40 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 15 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 500 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 위 탱크는 밀폐되어 있고 수면 위 공기의 게이지 압력은 400 kPa이다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.
Q = 40 L/sΔz = 15 mL = 500 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8ptank = 400 kPa
H = m
9.개수로 흐름(매닝)보통
사다리꼴 벽돌 쌓기 수로의 바닥 폭은 4 m, 측면 경사는 3:1(수평:연직)이다. 물이 수심 1.6 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.015, 수로 바닥 경사는 S = 0.0005이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.
b = 4 my = 1.6 mz = 3n = 0.015S = 0.0005
Q = m³/s
10.개수로 흐름(매닝)어려움
바닥 폭 3 m, 측면 경사 1.5:1(수평:연직)인 사다리꼴 풀로 덮인 흙 수로가 수심 1.4 m의 등류로 9.8 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.03. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.
Q = 9.8 m³/sb = 3 my = 1.4 mz = 1.5n = 0.03
S = m/m
3용액
1.정수압
답: F = 104.2 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.25·2.5 = 104.2 kN
답
F = 104.2 kN
2.정수압
답: ycp = 5.636 m
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·5.5·4.5 = 248.9 kN
압력 중심
압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.
Ic = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5.5 + 3.375/(5.5·4.5) = 5.636 m
답
ycp = 5.636 m
3.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 165.6 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
연속 방정식
v1 = v2·(150/200)² = 0.5625·v2
입구와 목 사이의 베르누이 식
관이 수평이므로 압력과 유속만 변합니다.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·30000/(1000·(1 − 0.3164))) = 9.369 m/s
v1 = 5.27 m/s
유량
Q = A2·v2 = 0.01767·9.369 = 0.1656 m³/s = 165.6 L/s
답
Q = 165.6 L/s
4.연속 방정식과 베르누이
답: v = 20.48 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
수면에서 분류까지의 베르누이 식
v = √(2·(200000/1000 + 9.81·1)) = 20.48 m/s
답
v = 20.48 m/s
5.관 마찰과 손실 수두
답: hf = 3.672 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
평균 유속
A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²
V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s
속도 수두
V²/(2g) = 1.415²/(2·9.81) = 0.102 m
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(300/0.15)·1.415²/(2·9.81) = 3.672 m
답
hf = 3.672 m
6.관 마찰과 손실 수두
답: Δz = 1.925 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
속도
V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s
V²/(2g) = 0.05288 m
손실 계수
f·L/D = 0.015·400/0.25 = 24
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4
전체 손실 수두
hf = 24·0.05288 = 1.269 m
hm = 12.4·0.05288 = 0.6557 m
Δz = hf + hm = 1.925 m
답
Δz = 1.925 m
7.펌프와 펌프 동력
답: Pshaft = 8.374 kW
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
수동력
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·70 = 6.867 kW
축동력
Pshaft = Ph/η = 6.867/0.82 = 8.374 kW
답
Pshaft = 8.374 kW
8.펌프와 펌프 동력
답: H = 70.92 m
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
속도
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
손실 수두
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0.2611 = 15.15 m
압력 수두
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m
펌프 양정
두 수면 모두 사실상 정지해 있으므로 속도 수두 항은 없습니다.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 15 + 40.77 + 15.15 = 70.92 m
답
H = 70.92 m
9.개수로 흐름(매닝)
답: Q = 20.95 m³/s
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (4 + 3·1.6)·1.6 = 14.08 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.6·√(1 + 3²) = 14.12 m
R = A/P = 0.9972 m
속도
V = (1/0.015)·0.99722/3·0.00051/2 = 1.488 m/s
유량
Q = A·V = 14.08·1.488 = 20.95 m³/s
답
Q = 20.95 m³/s
10.개수로 흐름(매닝)
답: S = 0.001989 m/m
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (3 + 1.5·1.4)·1.4 = 7.14 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1.4·√(1 + 1.5²) = 8.048 m
R = A/P = 0.8872 m
매닝 공식을 S에 대해 풀기
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.03·9.8/(7.14·0.9233) = 0.0446
S = 0.0446² = 0.001989
답
S = 0.001989
1킬로미터당 1.989 m의 낙차입니다.
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