정수압
- 깊이에 따른 압력
- p = ρgh
- 수직 벽에 작용하는 힘
- F = ρg·hc·A
- 압력 중심
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 직사각형
- Ic = bH³/12
수리학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
연속 방정식과 베르누이
- 연속 방정식
- A1v1 = A2v2
- 베르누이 방정식
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 유량
- Q = A·v
- 원의 넓이
- A = πd²/4
관 마찰과 손실 수두
- 레이놀즈 수
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 유동 영역
- Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
- 평균 유속
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 다르시–바이스바흐 식
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 부차 손실
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 대표적인 K 값
- 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
- 압력 강하
- Δp = ρ·g·hf
- 두 개의 개방 저수지
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 자유 유출
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
펌프와 펌프 동력
- 수동력
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 축동력
- Pshaft = Ph/ηpump
- 전기 입력 동력
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 펌프 양정
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 시스템 손실
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
개수로 흐름(매닝)
- 매닝 공식
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 유량
- Q = A·V
- 동수 반경
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 직사각형
- A = b·y, P = b + 2y
- 사다리꼴(측면 경사 z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 원형 관, 만수 또는 반수
- R = D/4
- 필요 경사
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2연습 문제
1.정수압보통
폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 2.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 ycp을(를) 구하시오.
d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.연속 방정식과 베르누이보통
큰 열린 탱크의 물이 지름 20 mm의 예연 오리피스로 빠져나간다. 수위는 오리피스보다 3.5 m 위로 유지되고 유량 계수는 0.64이다. 유량 Q을(를) 구하시오. g = 9.81 m/s²를 사용하시오.
d = 20 mmh = 3.5 mCd = 0.64g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.연속 방정식과 베르누이어려움
수평 벤투리미터(입구 300 mm, 목 150 mm)에 물이 흐른다. 입구와 목 사이에 연결된 수은 U자관 마노미터의 액면 차는 240 mm이다. 유량 계수는 0.97이다. 유량 Q을(를) 구하시오. 물은 ρ = 1000 kg/m³, 수은은 13 600 kg/m³, g = 9.81 m/s²를 사용하시오.
d1 = 300 mmd2 = 150 mmΔh = 240 mmCd = 0.97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.관 마찰과 손실 수두보통
물(ρ = 1000 kg/m³)이 길이 400 m, 안지름 75 mm인 수평 관을 2.5 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.02, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 관 전체의 압력 강하 Δp을(를) kPa 단위로 구하시오.
V = 2.5 m/sL = 400 mD = 75 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.관 마찰과 손실 수두어려움
길이 150 m, 안지름 300 mm(다르시 마찰 계수 f = 0.025)인 관이 개방 저수지에서 나와 대기 중으로 자유 분류로 유출된다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 0.2)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 150 L/s를 얻으려면 저수지 수면이 관 출구보다 얼마나 높아야 하는가(H)?
Q = 150 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 0.2
H = m
7.펌프와 펌프 동력보통
시험에서 펌프가 양정 28 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 30 L/s 송출하고, 이때 축 동력은 11 kW이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율 η을(를) 퍼센트로 구하시오.
Q = 30 L/sH = 28 mPshaft = 11 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.펌프와 펌프 동력어려움
펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 80 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 19 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 200 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 5(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 72%이다. 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.
Q = 80 L/sΔz = 19 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 5η = 72%
Pshaft = kW
9.개수로 흐름(매닝)보통
사다리꼴 벽돌 쌓기 수로의 바닥 폭은 5 m, 측면 경사는 3:1(수평:연직)이다. 물이 수심 0.9 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.015, 수로 바닥 경사는 S = 0.005이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.
b = 5 my = 0.9 mz = 3n = 0.015S = 0.005
Q = m³/s
10.개수로 흐름(매닝)어려움
바닥 폭 1.5 m, 측면 경사 1.5:1(수평:연직)인 사다리꼴 마감하지 않은 콘크리트 수로가 수심 1 m의 등류로 6.7 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.014. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.
Q = 6.7 m³/sb = 1.5 my = 1 mz = 1.5n = 0.014
S = m/m
3용액
1.정수압
답: F = 275.9 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·7.5 = 275.9 kN
답
F = 275.9 kN
2.정수압
답: ycp = 3.714 m
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3.5·3 = 90.64 kN
압력 중심
압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.
Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 2.25/(3.5·3) = 3.714 m
답
ycp = 3.714 m
3.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 1.666 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
이상 분류 속도
√(2gh) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s
실제 유량
유량 계수는 분류의 수축과 가장자리의 마찰을 반영합니다.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.64·0.0003142·8.287 = 0.001666 m³/s = 1.666 L/s
답
Q = 1.666 L/s
4.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 136.4 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
마노미터에서 구한 압력 차
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.24 = 29665 Pa
목의 유속
연속 방정식과 베르누이 식을 함께 쓰면 이상적인 목의 유속이 나옵니다.
β = 150/300 = 0.5
v2 = √(2·29665/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.955 m/s
실제 유량
Q = Cd·A2·v2 = 0.97·0.01767·7.955 = 0.1364 m³/s = 136.4 L/s
답
Q = 136.4 L/s
5.관 마찰과 손실 수두
답: Δp = 333.3 kPa
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
손실 수두
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(400/0.075)·2.5²/(2·9.81) = 33.98 m
압력 강하
관이 수평이고 유속이 변하지 않으므로 에너지 방정식은 Δp = ρ·g·hf가 됩니다.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·33.98 = 333333 Pa = 333.3 kPa
답
Δp = 333.3 kPa
6.관 마찰과 손실 수두
답: H = 3.466 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
속도
V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s
V²/(2g) = 0.2295 m
손실 계수
f·L/D = 0.025·150/0.3 = 12.5
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 = 1.6
에너지 방정식
출구 분류는 여전히 속도 수두를 가지고 있습니다. 손실은 아니지만 공급되어야 합니다.
H = (1 + 12.5 + 1.6)·0.2295 = 3.466 m
답
H = 3.466 m
7.펌프와 펌프 동력
답: η = 74.91 %
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
수동력
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·28 = 8.24 kW
효율
η = Ph/Pshaft = 8.24/11 = 74.91%
답
η = 74.91%
8.펌프와 펌프 동력
답: Pshaft = 27.92 kW
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
속도
V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
손실 수두
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0.3305 = 6.61 m
펌프 양정
H = Δz + hL = 19 + 6.61 = 25.61 m
축동력
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·25.61/0.72 = 27.92 kW
답
Pshaft = 27.92 kW
9.개수로 흐름(매닝)
답: Q = 24.47 m³/s
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (5 + 3·0.9)·0.9 = 6.93 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·0.9·√(1 + 3²) = 10.69 m
R = A/P = 0.6481 m
속도
V = (1/0.015)·0.64812/3·0.0051/2 = 3.531 m/s
유량
Q = A·V = 6.93·3.531 = 24.47 m³/s
답
Q = 24.47 m³/s
10.개수로 흐름(매닝)
답: S = 0.001986 m/m
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (1.5 + 1.5·1)·1 = 3 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1·√(1 + 1.5²) = 5.106 m
R = A/P = 0.5876 m
매닝 공식을 S에 대해 풀기
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.014·6.7/(3·0.7015) = 0.04457
S = 0.04457² = 0.001986
답
S = 0.001986
1킬로미터당 1.986 m의 낙차입니다.
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