정수압
- 깊이에 따른 압력
- p = ρgh
- 수직 벽에 작용하는 힘
- F = ρg·hc·A
- 압력 중심
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 직사각형
- Ic = bH³/12
수리학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
연속 방정식과 베르누이
- 연속 방정식
- A1v1 = A2v2
- 베르누이 방정식
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 유량
- Q = A·v
- 원의 넓이
- A = πd²/4
관 마찰과 손실 수두
- 레이놀즈 수
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 유동 영역
- Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
- 평균 유속
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 다르시–바이스바흐 식
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 부차 손실
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 대표적인 K 값
- 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
- 압력 강하
- Δp = ρ·g·hf
- 두 개의 개방 저수지
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 자유 유출
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
펌프와 펌프 동력
- 수동력
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 축동력
- Pshaft = Ph/ηpump
- 전기 입력 동력
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 펌프 양정
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 시스템 손실
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
개수로 흐름(매닝)
- 매닝 공식
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 유량
- Q = A·V
- 동수 반경
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 직사각형
- A = b·y, P = b + 2y
- 사다리꼴(측면 경사 z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 원형 관, 만수 또는 반수
- R = D/4
- 필요 경사
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2연습 문제
1.정수압보통
폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 2.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 1 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.연속 방정식과 베르누이보통
물이 29 L/s로 200 mm에서 150 mm로 좁아지는 수평관을 흐른다. 좁은 구간의 압력은 70 kPa이다. 손실을 무시하고 넓은 구간의 압력 p1을(를) 구하시오.
Q = 29 L/sd1 = 200 mmd2 = 150 mmp2 = 70 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.연속 방정식과 베르누이어려움
수평 벤투리미터(입구 80 mm, 목 40 mm)에 물이 흐른다. 입구와 목 사이에 연결된 수은 U자관 마노미터의 액면 차는 270 mm이다. 유량 계수는 0.96이다. 유량 Q을(를) 구하시오. 물은 ρ = 1000 kg/m³, 수은은 13 600 kg/m³, g = 9.81 m/s²를 사용하시오.
d1 = 80 mmd2 = 40 mmΔh = 270 mmCd = 0.96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.관 마찰과 손실 수두보통
물이 길이 500 m, 안지름 300 mm인 관을 평균 유속 1.1 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.018, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 hf을(를) 구하시오.
V = 1.1 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.관 마찰과 손실 수두어려움
두 개방 저수지가 길이 300 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.02인 관으로 연결되어 있다. 위 저수지의 수면은 아래 저수지 수면보다 26 m 높다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 10), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 Q을(를) L/s 단위로 구하시오.
Δz = 26 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.펌프와 펌프 동력보통
효율 80%인 펌프가 양정 30 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 15 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.
Q = 15 L/sH = 30 mη = 80%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.펌프와 펌프 동력어려움
펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 40 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 33 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 150 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 위 탱크는 밀폐되어 있고 수면 위 공기의 게이지 압력은 100 kPa이다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.
Q = 40 L/sΔz = 33 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8ptank = 100 kPa
H = m
9.개수로 흐름(매닝)보통
직사각형 마감하지 않은 콘크리트 수로의 폭은 5.5 m이다. 물이 수심 0.5 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.014, 수로 바닥 경사는 S = 0.0008이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.
b = 5.5 my = 0.5 mn = 0.014S = 0.0008
Q = m³/s
10.개수로 흐름(매닝)어려움
안지름 200 mm인 콘크리트 하수관(매닝 n = 0.013)이 막 만수로 흐를 때 자정 유속 0.6 m/s에 도달해야 한다. 최소 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.
D = 200 mmn = 0.013V = 0.6 m/s
S = m/m
3용액
1.정수압
답: F = 206 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN
답
F = 206 kN
2.정수압
답: F = 67.98 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·1.75·4.5 = 67.98 kN
답
F = 67.98 kN
3.연속 방정식과 베르누이
답: p1 = 70.92 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
유속
v1 = Q/A1 = 0.029/0.03142 = 0.9231 m/s
v2 = Q/A2 = 0.029/0.01767 = 1.641 m/s
베르누이 방정식
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 70 + ½·1000·(1.641² − 0.9231²)/1000 = 70 + 0.9205 = 70.92 kPa
답
p1 = 70.92 kPa
4.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 10.18 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
마노미터에서 구한 압력 차
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.27 = 33374 Pa
목의 유속
연속 방정식과 베르누이 식을 함께 쓰면 이상적인 목의 유속이 나옵니다.
β = 40/80 = 0.5
v2 = √(2·33374/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.438 m/s
실제 유량
Q = Cd·A2·v2 = 0.96·0.001257·8.438 = 0.01018 m³/s = 10.18 L/s
답
Q = 10.18 L/s
5.관 마찰과 손실 수두
답: hf = 1.85 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
속도 수두
V²/(2g) = 1.1²/(2·9.81) = 0.06167 m
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(500/0.3)·1.1²/(2·9.81) = 1.85 m
답
hf = 1.85 m
6.관 마찰과 손실 수두
답: Q = 108.6 L/s
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
손실 계수
f·L/D = 0.02·300/0.2 = 30
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7
에너지 방정식
두 수면 모두 대기에 열려 있고 사실상 정지해 있으므로 Δz 전체가 관에서 손실됩니다.
26 = (30 + 12.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·26/42.7) = 3.456 m/s
유량
Q = V·π·D²/4 = 3.456·0.03142 = 0.1086 m³/s = 108.6 L/s
답
Q = 108.6 L/s
7.펌프와 펌프 동력
답: Pshaft = 5.518 kW
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
수동력
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·30 = 4.415 kW
축동력
Pshaft = Ph/η = 4.415/0.8 = 5.518 kW
답
Pshaft = 5.518 kW
8.펌프와 펌프 동력
답: H = 49.2 m
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
속도
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
손실 수두
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0.2611 = 6.006 m
압력 수두
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m
펌프 양정
두 수면 모두 사실상 정지해 있으므로 속도 수두 항은 없습니다.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 33 + 10.19 + 6.006 = 49.2 m
답
H = 49.2 m
9.개수로 흐름(매닝)
답: Q = 3.131 m³/s
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = b·y = 5.5·0.5 = 2.75 m²
P = b + 2y = 5.5 + 2·0.5 = 6.5 m
R = A/P = 0.4231 m
속도
V = (1/0.014)·0.42312/3·0.00081/2 = 1.139 m/s
유량
Q = A·V = 2.75·1.139 = 3.131 m³/s
답
Q = 3.131 m³/s
10.개수로 흐름(매닝)
답: S = 0.003303 m/m
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
동수 반경
R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m
매닝 공식을 S에 대해 풀기
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.6/0.1357)² = 0.003303
답
S = 0.003303
1킬로미터당 3.303 m의 낙차입니다.
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