수리학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2연습 문제

1.정수압보통

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 3 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 3 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.정수압어려움

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1.5 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 y_cp을(를) 구하시오.

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.연속 방정식과 베르누이보통

물이 150 mm에서 100 mm(으)로 좁아지는 수평관을 흐른다. 넓은 부분의 압력은 210 kPa, 유속은 0.75 m/s이다. 손실을 무시하고 좁은 부분의 압력 p₂을(를) 구하시오.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 210 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.연속 방정식과 베르누이어려움

안지름 20 mm의 호스로 열린 탱크의 물을 사이펀으로 빼낸다. 호스의 가장 높은 점 C는 수면보다 0.5 m 위에 있고, (대기에 열린) 출구는 수면보다 1 m 아래에 있다. 손실을 무시하고 g = 9.81 m/s²로 하시오. 유량 Q을(를) 구하시오.

d = 20 mmz_C = +0.5 mz₂ = −1 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.관 마찰과 손실 수두보통

물이 길이 1000 m, 안지름 200 mm인 관을 평균 유속 1.8 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.022, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 h_f을(를) 구하시오.

V = 1.8 m/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.관 마찰과 손실 수두어려움

두 개방 저수지가 길이 150 m, 안지름 100 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.02인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 2개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 8 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?

Q = 8 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

7.펌프와 펌프 동력보통

펌프가 양정 64 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 150 L/s 송출한다. 펌프 효율은 72%이고, 펌프를 구동하는 전동기의 효율은 95%이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 전동기가 소비하는 전력 P_el을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 150 L/sH = 64 mη_pump = 72%η_motor = 95%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 40 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 9 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 100 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.018이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 5(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 위 탱크는 밀폐되어 있고 수면 위 공기의 게이지 압력은 150 kPa이다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 5p_tank = 150 kPa

H = m

9.개수로 흐름(매닝)보통

사다리꼴 풀로 덮인 흙 수로의 바닥 폭은 2 m, 측면 경사는 1:1(수평:연직)이다. 물이 수심 1.7 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.03, 수로 바닥 경사는 S = 0.003이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 2 my = 1.7 mz = 1n = 0.03S = 0.003

Q = m³/s

10.개수로 흐름(매닝)어려움

바닥 폭 4.5 m, 측면 경사 3:1(수평:연직)인 사다리꼴 자갈 수로가 수심 1.3 m의 등류로 25 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.025. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 25 m³/sb = 4.5 my = 1.3 mz = 3n = 0.025

S = m/m

3용액

1.정수압

답: F = 312.7 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.25·7.5 = 312.7 kN

답

F = 312.7 kN

2.정수압

답: y_cp = 2.333 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.25·2.25 = 62.58 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 0.4219/(2.25·2.25) = 2.333 m

답

y_cp = 2.333 m

3.연속 방정식과 베르누이

답: p₂ = 208.9 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(150/100)² = 1.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.688²)/1000 = −1.143 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 210 + (−1.143) = 208.9 kPa

답

p₂ = 208.9 kPa

4.연속 방정식과 베르누이

답: Q = 1.392 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

호스 안의 유속

수면과 출구는 모두 대기에 열려 있으므로 압력 항이 상쇄됩니다.

v = √(2g·1) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

유량

Q = A·v = 0.0003142·4.429 = 0.001392 m³/s = 1.392 L/s

답

Q = 1.392 L/s

5.관 마찰과 손실 수두

답: h_f = 18.17 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도 수두

V²/(2g) = 1.8²/(2·9.81) = 0.1651 m

다르시–바이스바흐 식

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(1000/0.2)·1.8²/(2·9.81) = 18.17 m

답

h_f = 18.17 m

6.관 마찰과 손실 수두

답: Δz = 1.962 m

속도

V = Q/A = 0.008/0.007854 = 1.019 m/s

V²/(2g) = 0.05288 m

손실 계수

f·L/D = 0.02·150/0.1 = 30

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

전체 손실 수두

h_f = 30·0.05288 = 1.586 m

h_m = 7.1·0.05288 = 0.3755 m

Δz = h_f + h_m = 1.962 m

답

Δz = 1.962 m

7.펌프와 펌프 동력

답: P_el = 137.7 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·64 = 94.18 kW

축동력

P_shaft = 94.18/0.72 = 130.8 kW

전기 입력 동력

P_el = 130.8/0.95 = 137.7 kW

답

P_el = 137.7 kW

8.펌프와 펌프 동력

답: H = 28.73 m

속도

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 5)·0.2611 = 4.439 m

압력 수두

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m

펌프 양정

두 수면 모두 사실상 정지해 있으므로 속도 수두 항은 없습니다.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 15.29 + 4.439 = 28.73 m

답

H = 28.73 m

9.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 10.89 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (2 + 1·1.7)·1.7 = 6.29 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1.7·√(1 + 1²) = 6.808 m

R = A/P = 0.9239 m

속도

V = (1/0.03)·0.9239^2/3·0.003^1/2 = 1.732 m/s

유량

Q = A·V = 6.29·1.732 = 10.89 m³/s

답

Q = 10.89 m³/s

10.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.004016 m/m

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (4.5 + 3·1.3)·1.3 = 10.92 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·1.3·√(1 + 3²) = 12.72 m

R = A/P = 0.8584 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·25/(10.92·0.9032) = 0.06337

S = 0.06337² = 0.004016

답

S = 0.004016

1킬로미터당 4.016 m의 낙차입니다.

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