정수압
- 깊이에 따른 압력
- p = ρgh
- 수직 벽에 작용하는 힘
- F = ρg·hc·A
- 압력 중심
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 직사각형
- Ic = bH³/12
수리학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
연속 방정식과 베르누이
- 연속 방정식
- A1v1 = A2v2
- 베르누이 방정식
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 유량
- Q = A·v
- 원의 넓이
- A = πd²/4
관 마찰과 손실 수두
- 레이놀즈 수
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 유동 영역
- Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
- 평균 유속
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 다르시–바이스바흐 식
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 부차 손실
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 대표적인 K 값
- 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
- 압력 강하
- Δp = ρ·g·hf
- 두 개의 개방 저수지
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 자유 유출
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
펌프와 펌프 동력
- 수동력
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 축동력
- Pshaft = Ph/ηpump
- 전기 입력 동력
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 펌프 양정
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 시스템 손실
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
개수로 흐름(매닝)
- 매닝 공식
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 유량
- Q = A·V
- 동수 반경
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 직사각형
- A = b·y, P = b + 2y
- 사다리꼴(측면 경사 z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 원형 관, 만수 또는 반수
- R = D/4
- 필요 경사
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2연습 문제
1.정수압보통
폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 ycp을(를) 구하시오.
d = 0.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.연속 방정식과 베르누이보통
입구 지름 100 mm, 목 지름 50 mm인 수평 벤투리미터에 물이 흐른다. 입구의 압력은 목보다 33 kPa 높다. 손실을 무시하고 유량 Q을(를) 구하시오.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 − p2 = 33 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.연속 방정식과 베르누이어려움
분수 노즐이 똑바로 위를 향한다. 노즐 바로 아래 공급관의 지름은 50 mm, 계기 압력은 40 kPa이다. 노즐 출구 지름은 25 mm이며 노즐 전후의 높이 차는 무시할 수 있다. 손실과 공기 저항을 무시하고 분류가 노즐 위로 올라가는 높이 H을(를) 구하시오. g = 9.81 m/s²를 사용하시오.
d1 = 50 mmp1 = 40 kPa (게이지압)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.관 마찰과 손실 수두보통
물이 길이 200 m, 안지름 200 mm인 관을 75 L/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.03, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 hf을(를) 구하시오.
Q = 75 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.관 마찰과 손실 수두어려움
두 개방 저수지가 길이 200 m, 안지름 300 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.018인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 10), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 80 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?
Q = 80 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.펌프와 펌프 동력보통
시험에서 펌프가 양정 20 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 20 L/s 송출하고, 이때 축 동력은 5.6 kW이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율 η을(를) 퍼센트로 구하시오.
Q = 20 L/sH = 20 mPshaft = 5.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.펌프와 펌프 동력어려움
펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 100 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 11 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 400 m, 안지름 250 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 6(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.
Q = 100 L/sΔz = 11 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 6
H = m
9.개수로 흐름(매닝)보통
사다리꼴 벽돌 쌓기 수로의 바닥 폭은 2.5 m, 측면 경사는 3:1(수평:연직)이다. 물이 수심 2.2 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.015, 수로 바닥 경사는 S = 0.005이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.
b = 2.5 my = 2.2 mz = 3n = 0.015S = 0.005
Q = m³/s
10.개수로 흐름(매닝)어려움
바닥 폭 3.5 m, 측면 경사 2:1(수평:연직)인 사다리꼴 자갈 수로가 수심 0.5 m의 등류로 3.4 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.025. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.
Q = 3.4 m³/sb = 3.5 my = 0.5 mz = 2n = 0.025
S = m/m
3용액
1.정수압
답: F = 132.4 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·4.5 = 132.4 kN
답
F = 132.4 kN
2.정수압
답: ycp = 2.375 m
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·9 = 176.6 kN
압력 중심
압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.
Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 6.75/(2·9) = 2.375 m
답
ycp = 2.375 m
3.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 16.47 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
연속 방정식
v1 = v2·(50/100)² = 0.25·v2
입구와 목 사이의 베르누이 식
관이 수평이므로 압력과 유속만 변합니다.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·33000/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.39 m/s
v1 = 2.098 m/s
유량
Q = A2·v2 = 0.001963·8.39 = 0.01647 m³/s = 16.47 L/s
답
Q = 16.47 L/s
4.연속 방정식과 베르누이
답: H = 4.349 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
출구 유속
β = 25/50 = 0.5
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0.9375)) = 9.238 m/s
분류의 높이
분류를 따른 베르누이 식: 꼭대기에서 유속은 0이고 압력은 다시 대기압입니다.
H = v2²/(2g) = 9.238²/(2·9.81) = 4.349 m
답
H = 4.349 m
5.관 마찰과 손실 수두
답: hf = 8.715 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
평균 유속
A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
속도 수두
V²/(2g) = 2.387²/(2·9.81) = 0.2905 m
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(200/0.2)·2.387²/(2·9.81) = 8.715 m
답
hf = 8.715 m
6.관 마찰과 손실 수두
답: Δz = 1.613 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
속도
V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m
손실 계수
f·L/D = 0.018·200/0.3 = 12
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7
전체 손실 수두
hf = 12·0.06529 = 0.7834 m
hm = 12.7·0.06529 = 0.8291 m
Δz = hf + hm = 1.613 m
답
Δz = 1.613 m
7.펌프와 펌프 동력
답: η = 70.07 %
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
수동력
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·20 = 3.924 kW
효율
η = Ph/Pshaft = 3.924/5.6 = 70.07%
답
η = 70.07%
8.펌프와 펌프 동력
답: H = 17.35 m
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
속도
V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m
손실 수두
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 6)·0.2115 = 6.346 m
펌프 양정
두 수면 모두 개방되어 있고 사실상 정지해 있으므로 압력 항과 속도 항은 없어집니다.
H = Δz + hL = 11 + 6.346 = 17.35 m
답
H = 17.35 m
9.개수로 흐름(매닝)
답: Q = 107.7 m³/s
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (2.5 + 3·2.2)·2.2 = 20.02 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·2.2·√(1 + 3²) = 16.41 m
R = A/P = 1.22 m
속도
V = (1/0.015)·1.222/3·0.0051/2 = 5.381 m/s
유량
Q = A·V = 20.02·5.381 = 107.7 m³/s
답
Q = 107.7 m³/s
10.개수로 흐름(매닝)
답: S = 0.00497 m/m
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (3.5 + 2·0.5)·0.5 = 2.25 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·0.5·√(1 + 2²) = 5.736 m
R = A/P = 0.3923 m
매닝 공식을 S에 대해 풀기
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·3.4/(2.25·0.5359) = 0.0705
S = 0.0705² = 0.00497
답
S = 0.00497
1킬로미터당 4.97 m의 낙차입니다.
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