정수압
- 깊이에 따른 압력
- p = ρgh
- 수직 벽에 작용하는 힘
- F = ρg·hc·A
- 압력 중심
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 직사각형
- Ic = bH³/12
수리학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
연속 방정식과 베르누이
- 연속 방정식
- A1v1 = A2v2
- 베르누이 방정식
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 유량
- Q = A·v
- 원의 넓이
- A = πd²/4
관 마찰과 손실 수두
- 레이놀즈 수
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 유동 영역
- Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
- 평균 유속
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 다르시–바이스바흐 식
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 부차 손실
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 대표적인 K 값
- 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
- 압력 강하
- Δp = ρ·g·hf
- 두 개의 개방 저수지
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 자유 유출
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
펌프와 펌프 동력
- 수동력
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 축동력
- Pshaft = Ph/ηpump
- 전기 입력 동력
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 펌프 양정
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 시스템 손실
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
개수로 흐름(매닝)
- 매닝 공식
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 유량
- Q = A·V
- 동수 반경
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 직사각형
- A = b·y, P = b + 2y
- 사다리꼴(측면 경사 z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 원형 관, 만수 또는 반수
- R = D/4
- 필요 경사
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2연습 문제
1.정수압보통
폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 바닷물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 ycp을(를) 구하시오.
d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.연속 방정식과 베르누이보통
입구 지름 200 mm, 목 지름 100 mm인 수평 벤투리미터에 물이 흐른다. 입구의 압력은 목보다 20 kPa 높다. 손실을 무시하고 유량 Q을(를) 구하시오.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 20 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.연속 방정식과 베르누이어려움
수평 벤투리미터(입구 250 mm, 목 125 mm)에 물이 흐른다. 입구와 목 사이에 연결된 수은 U자관 마노미터의 액면 차는 190 mm이다. 유량 계수는 0.95이다. 유량 Q을(를) 구하시오. 물은 ρ = 1000 kg/m³, 수은은 13 600 kg/m³, g = 9.81 m/s²를 사용하시오.
d1 = 250 mmd2 = 125 mmΔh = 190 mmCd = 0.95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.관 마찰과 손실 수두보통
물(ρ = 1000 kg/m³)이 길이 1000 m, 안지름 75 mm인 수평 관을 1.2 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.028, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 관 전체의 압력 강하 Δp을(를) kPa 단위로 구하시오.
V = 1.2 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.관 마찰과 손실 수두어려움
길이 100 m, 안지름 200 mm(다르시 마찰 계수 f = 0.025)인 관이 개방 저수지에서 나와 대기 중으로 자유 분류로 유출된다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 2개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 2)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 60 L/s를 얻으려면 저수지 수면이 관 출구보다 얼마나 높아야 하는가(H)?
Q = 60 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2
H = m
7.펌프와 펌프 동력보통
효율 80%인 펌프가 양정 68 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 50 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.
Q = 50 L/sH = 68 mη = 80%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.펌프와 펌프 동력어려움
펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 50 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 6 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 400 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.025이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 6(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 72%이다. 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.
Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 6η = 72%
Pshaft = kW
9.개수로 흐름(매닝)보통
사다리꼴 깨끗한 흙 수로의 바닥 폭은 1.5 m, 측면 경사는 2:1(수평:연직)이다. 물이 수심 2 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.022, 수로 바닥 경사는 S = 0.002이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.
b = 1.5 my = 2 mz = 2n = 0.022S = 0.002
Q = m³/s
10.개수로 흐름(매닝)어려움
바닥 폭 4 m, 측면 경사 1:1(수평:연직)인 사다리꼴 마감하지 않은 콘크리트 수로가 수심 1.3 m의 등류로 25 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.014. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.
Q = 25 m³/sb = 4 my = 1.3 mz = 1n = 0.014
S = m/m
3용액
1.정수압
답: F = 147.2 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN
답
F = 147.2 kN
2.정수압
답: ycp = 2.533 m
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.5·1 = 25.14 kN
압력 중심
압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.
Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.5 + 0.08333/(2.5·1) = 2.533 m
답
ycp = 2.533 m
3.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 51.3 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
연속 방정식
v1 = v2·(100/200)² = 0.25·v2
입구와 목 사이의 베르누이 식
관이 수평이므로 압력과 유속만 변합니다.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·20000/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.532 m/s
v1 = 1.633 m/s
유량
Q = A2·v2 = 0.007854·6.532 = 0.0513 m³/s = 51.3 L/s
답
Q = 51.3 L/s
4.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 82.52 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
마노미터에서 구한 압력 차
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.19 = 23485 Pa
목의 유속
연속 방정식과 베르누이 식을 함께 쓰면 이상적인 목의 유속이 나옵니다.
β = 125/250 = 0.5
v2 = √(2·23485/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.078 m/s
실제 유량
Q = Cd·A2·v2 = 0.95·0.01227·7.078 = 0.08252 m³/s = 82.52 L/s
답
Q = 82.52 L/s
5.관 마찰과 손실 수두
답: Δp = 268.8 kPa
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
손실 수두
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(1000/0.075)·1.2²/(2·9.81) = 27.4 m
압력 강하
관이 수평이고 유속이 변하지 않으므로 에너지 방정식은 Δp = ρ·g·hf가 됩니다.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·27.4 = 268800 Pa = 268.8 kPa
답
Δp = 268.8 kPa
6.관 마찰과 손실 수두
답: H = 3.086 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
속도
V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
손실 계수
f·L/D = 0.025·100/0.2 = 12.5
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 = 3.1
에너지 방정식
출구 분류는 여전히 속도 수두를 가지고 있습니다. 손실은 아니지만 공급되어야 합니다.
H = (1 + 12.5 + 3.1)·0.1859 = 3.086 m
답
H = 3.086 m
7.펌프와 펌프 동력
답: Pshaft = 41.69 kW
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
수동력
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·68 = 33.35 kW
축동력
Pshaft = Ph/η = 33.35/0.8 = 41.69 kW
답
Pshaft = 41.69 kW
8.펌프와 펌프 동력
답: Pshaft = 9.013 kW
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
속도
V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
V²/(2g) = 0.1291 m
손실 수두
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 6)·0.1291 = 7.23 m
펌프 양정
H = Δz + hL = 6 + 7.23 = 13.23 m
축동력
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·13.23/0.72 = 9.013 kW
답
Pshaft = 9.013 kW
9.개수로 흐름(매닝)
답: Q = 23.15 m³/s
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (1.5 + 2·2)·2 = 11 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·2·√(1 + 2²) = 10.44 m
R = A/P = 1.053 m
속도
V = (1/0.022)·1.0532/3·0.0021/2 = 2.104 m/s
유량
Q = A·V = 11·2.104 = 23.15 m³/s
답
Q = 23.15 m³/s
10.개수로 흐름(매닝)
답: S = 0.002981 m/m
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (4 + 1·1.3)·1.3 = 6.89 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.3·√(1 + 1²) = 7.677 m
R = A/P = 0.8975 m
매닝 공식을 S에 대해 풀기
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.014·25/(6.89·0.9304) = 0.0546
S = 0.0546² = 0.002981
답
S = 0.002981
1킬로미터당 2.981 m의 낙차입니다.
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