정수압
- 깊이에 따른 압력
- p = ρgh
- 수직 벽에 작용하는 힘
- F = ρg·hc·A
- 압력 중심
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 직사각형
- Ic = bH³/12
수리학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
연속 방정식과 베르누이
- 연속 방정식
- A1v1 = A2v2
- 베르누이 방정식
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 유량
- Q = A·v
- 원의 넓이
- A = πd²/4
관 마찰과 손실 수두
- 레이놀즈 수
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 유동 영역
- Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
- 평균 유속
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 다르시–바이스바흐 식
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 부차 손실
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 대표적인 K 값
- 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
- 압력 강하
- Δp = ρ·g·hf
- 두 개의 개방 저수지
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 자유 유출
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
펌프와 펌프 동력
- 수동력
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 축동력
- Pshaft = Ph/ηpump
- 전기 입력 동력
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 펌프 양정
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 시스템 손실
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
개수로 흐름(매닝)
- 매닝 공식
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 유량
- Q = A·V
- 동수 반경
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 직사각형
- A = b·y, P = b + 2y
- 사다리꼴(측면 경사 z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 원형 관, 만수 또는 반수
- R = D/4
- 필요 경사
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2연습 문제
1.정수압보통
폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 ycp을(를) 구하시오.
d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.연속 방정식과 베르누이보통
입구 지름 250 mm, 목 지름 125 mm인 수평 벤투리미터에 물이 흐른다. 입구의 압력은 목보다 30 kPa 높다. 손실을 무시하고 유량 Q을(를) 구하시오.
d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 30 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.연속 방정식과 베르누이어려움
안지름 40 mm의 호스로 열린 탱크의 물을 사이펀으로 빼낸다. 호스의 가장 높은 점 C는 수면보다 1.5 m 위에 있고, (대기에 열린) 출구는 수면보다 3 m 아래에 있다. 손실을 무시하고 g = 9.81 m/s²로 하시오. 점 C의 절대 압력 pC을(를) 구하시오. 대기압은 101.3 kPa이다.
d = 40 mmzC = +1.5 mz2 = −3 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.관 마찰과 손실 수두보통
물이 길이 300 m, 안지름 150 mm인 관을 평균 유속 1 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.015, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 hf을(를) 구하시오.
V = 1 m/sL = 300 mD = 150 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.관 마찰과 손실 수두어려움
두 개방 저수지가 길이 150 m, 안지름 250 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.018인 관으로 연결되어 있다. 위 저수지의 수면은 아래 저수지 수면보다 6 m 높다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 2), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 Q을(를) L/s 단위로 구하시오.
Δz = 6 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.펌프와 펌프 동력보통
펌프가 양정 38 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 10 L/s 송출한다. 펌프 효율은 72%이고, 펌프를 구동하는 전동기의 효율은 90%이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 전동기가 소비하는 전력 Pel을(를) kW 단위로 구하시오.
Q = 10 L/sH = 38 mηpump = 72%ηmotor = 90%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.펌프와 펌프 동력어려움
펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 60 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 15 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 400 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.018이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 82%이다. 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.
Q = 60 L/sΔz = 15 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8η = 82%
Pshaft = kW
9.개수로 흐름(매닝)보통
사다리꼴 마감된 콘크리트 수로의 바닥 폭은 4 m, 측면 경사는 1:1(수평:연직)이다. 물이 수심 1.4 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.012, 수로 바닥 경사는 S = 0.002이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.
b = 4 my = 1.4 mz = 1n = 0.012S = 0.002
Q = m³/s
10.개수로 흐름(매닝)어려움
안지름 250 mm인 콘크리트 하수관(매닝 n = 0.013)이 막 만수로 흐를 때 자정 유속 1 m/s에 도달해야 한다. 최소 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.
D = 250 mmn = 0.013V = 1 m/s
S = m/m
3용액
1.정수압
답: F = 64.38 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·3.75 = 64.38 kN
답
F = 64.38 kN
2.정수압
답: ycp = 1.083 m
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·1·3 = 25.9 kN
압력 중심
압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.
Ic = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1 + 0.25/(1·3) = 1.083 m
답
ycp = 1.083 m
3.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 98.17 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
연속 방정식
v1 = v2·(125/250)² = 0.25·v2
입구와 목 사이의 베르누이 식
관이 수평이므로 압력과 유속만 변합니다.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·30000/(1000·(1 − 0.0625))) = 8 m/s
v1 = 2 m/s
유량
Q = A2·v2 = 0.01227·8 = 0.09817 m³/s = 98.17 L/s
답
Q = 98.17 L/s
4.연속 방정식과 베르누이
답: pC = 57.15 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
호스 안의 유속
수면과 출구는 모두 대기에 열려 있으므로 압력 항이 상쇄됩니다.
v = √(2g·3) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s
수면에서 C까지의 베르누이 식
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(7.672²/2 + 9.81·1.5)/1000 = 101.3 − 44.15 = 57.15 kPa
답
pC = 57.15 kPa
이 압력이 물의 증기압까지 떨어지면 사이펀은 작동을 멈춥니다.
5.관 마찰과 손실 수두
답: hf = 1.529 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
속도 수두
V²/(2g) = 1²/(2·9.81) = 0.05097 m
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(300/0.15)·1²/(2·9.81) = 1.529 m
답
hf = 1.529 m
6.관 마찰과 손실 수두
답: Q = 136.6 L/s
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
손실 계수
f·L/D = 0.018·150/0.25 = 10.8
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4
에너지 방정식
두 수면 모두 대기에 열려 있고 사실상 정지해 있으므로 Δz 전체가 관에서 손실됩니다.
6 = (10.8 + 4.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·6/15.2) = 2.783 m/s
유량
Q = V·π·D²/4 = 2.783·0.04909 = 0.1366 m³/s = 136.6 L/s
답
Q = 136.6 L/s
7.펌프와 펌프 동력
답: Pel = 5.753 kW
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
수동력
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·38 = 3.728 kW
축동력
Pshaft = 3.728/0.72 = 5.178 kW
전기 입력 동력
Pel = 5.178/0.9 = 5.753 kW
답
Pel = 5.753 kW
8.펌프와 펌프 동력
답: Pshaft = 16.64 kW
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
속도
V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
손실 수두
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0.1859 = 8.18 m
펌프 양정
H = Δz + hL = 15 + 8.18 = 23.18 m
축동력
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·23.18/0.82 = 16.64 kW
답
Pshaft = 16.64 kW
9.개수로 흐름(매닝)
답: Q = 27.22 m³/s
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (4 + 1·1.4)·1.4 = 7.56 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.4·√(1 + 1²) = 7.96 m
R = A/P = 0.9498 m
속도
V = (1/0.012)·0.94982/3·0.0021/2 = 3.601 m/s
유량
Q = A·V = 7.56·3.601 = 27.22 m³/s
답
Q = 27.22 m³/s
10.개수로 흐름(매닝)
답: S = 0.006814 m/m
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
동수 반경
R = D/4 = 0.25/4 = 0.0625 m
매닝 공식을 S에 대해 풀기
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·1/0.1575)² = 0.006814
답
S = 0.006814
1킬로미터당 6.814 m의 낙차입니다.
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