정수압
- 깊이에 따른 압력
- p = ρgh
- 수직 벽에 작용하는 힘
- F = ρg·hc·A
- 압력 중심
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 직사각형
- Ic = bH³/12
수리학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
연속 방정식과 베르누이
- 연속 방정식
- A1v1 = A2v2
- 베르누이 방정식
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 유량
- Q = A·v
- 원의 넓이
- A = πd²/4
관 마찰과 손실 수두
- 레이놀즈 수
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 유동 영역
- Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
- 평균 유속
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 다르시–바이스바흐 식
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 부차 손실
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 대표적인 K 값
- 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
- 압력 강하
- Δp = ρ·g·hf
- 두 개의 개방 저수지
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 자유 유출
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
펌프와 펌프 동력
- 수동력
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 축동력
- Pshaft = Ph/ηpump
- 전기 입력 동력
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 펌프 양정
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 시스템 손실
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
개수로 흐름(매닝)
- 매닝 공식
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 유량
- Q = A·V
- 동수 반경
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 직사각형
- A = b·y, P = b + 2y
- 사다리꼴(측면 경사 z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 원형 관, 만수 또는 반수
- R = D/4
- 필요 경사
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2연습 문제
1.정수압보통
폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 ycp을(를) 구하시오.
d = 1 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.연속 방정식과 베르누이보통
큰 열린 탱크의 물이 지름 25 mm의 예연 오리피스로 빠져나간다. 수위는 오리피스보다 1.5 m 위로 유지되고 유량 계수는 0.63이다. 유량 Q을(를) 구하시오. g = 9.81 m/s²를 사용하시오.
d = 25 mmh = 1.5 mCd = 0.63g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.연속 방정식과 베르누이어려움
안지름 20 mm의 호스로 열린 탱크의 물을 사이펀으로 빼낸다. 호스의 가장 높은 점 C는 수면보다 1.5 m 위에 있고, (대기에 열린) 출구는 수면보다 5 m 아래에 있다. 손실을 무시하고 g = 9.81 m/s²로 하시오. 점 C의 절대 압력 pC을(를) 구하시오. 대기압은 101.3 kPa이다.
d = 20 mmzC = +1.5 mz2 = −5 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.관 마찰과 손실 수두보통
물이 길이 150 m, 안지름 150 mm인 관을 20 L/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.018, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 hf을(를) 구하시오.
Q = 20 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.관 마찰과 손실 수두어려움
두 개방 저수지가 길이 100 m, 안지름 250 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.018인 관으로 연결되어 있다. 위 저수지의 수면은 아래 저수지 수면보다 16 m 높다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 2개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 Q을(를) L/s 단위로 구하시오.
Δz = 16 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.펌프와 펌프 동력보통
효율 72%인 펌프가 양정 56 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 40 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.
Q = 40 L/sH = 56 mη = 72%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.펌프와 펌프 동력어려움
펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 120 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 23 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 150 m, 안지름 250 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.025이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 6(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 위 탱크는 밀폐되어 있고 수면 위 공기의 게이지 압력은 150 kPa이다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.
Q = 120 L/sΔz = 23 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.025ΣK = 6ptank = 150 kPa
H = m
9.개수로 흐름(매닝)보통
사다리꼴 마감하지 않은 콘크리트 수로의 바닥 폭은 2.5 m, 측면 경사는 2:1(수평:연직)이다. 물이 수심 1.9 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.014, 수로 바닥 경사는 S = 0.003이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.
b = 2.5 my = 1.9 mz = 2n = 0.014S = 0.003
Q = m³/s
10.개수로 흐름(매닝)어려움
바닥 폭 2 m, 측면 경사 1:1(수평:연직)인 사다리꼴 깨끗한 흙 수로가 수심 1.7 m의 등류로 17 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.022. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.
Q = 17 m³/sb = 2 my = 1.7 mz = 1n = 0.022
S = m/m
3용액
1.정수압
답: F = 98.1 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5·2 = 98.1 kN
답
F = 98.1 kN
2.정수압
답: ycp = 2.167 m
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2·3 = 74.16 kN
압력 중심
압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.
Ic = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 1/(2·3) = 2.167 m
답
ycp = 2.167 m
3.연속 방정식과 베르누이
답: Q = 1.678 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
이상 분류 속도
√(2gh) = √(2·9.81·1.5) = 5.425 m/s
실제 유량
유량 계수는 분류의 수축과 가장자리의 마찰을 반영합니다.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.63·0.0004909·5.425 = 0.001678 m³/s = 1.678 L/s
답
Q = 1.678 L/s
4.연속 방정식과 베르누이
답: pC = 37.53 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
호스 안의 유속
수면과 출구는 모두 대기에 열려 있으므로 압력 항이 상쇄됩니다.
v = √(2g·5) = √(2·9.81·5) = 9.905 m/s
수면에서 C까지의 베르누이 식
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(9.905²/2 + 9.81·1.5)/1000 = 101.3 − 63.77 = 37.53 kPa
답
pC = 37.53 kPa
이 압력이 물의 증기압까지 떨어지면 사이펀은 작동을 멈춥니다.
5.관 마찰과 손실 수두
답: hf = 1.175 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
평균 유속
A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²
V = Q/A = 0.02/0.01767 = 1.132 m/s
속도 수두
V²/(2g) = 1.132²/(2·9.81) = 0.06529 m
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(150/0.15)·1.132²/(2·9.81) = 1.175 m
답
hf = 1.175 m
6.관 마찰과 손실 수두
답: Q = 230 L/s
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
손실 계수
f·L/D = 0.018·100/0.25 = 7.2
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1
에너지 방정식
두 수면 모두 대기에 열려 있고 사실상 정지해 있으므로 Δz 전체가 관에서 손실됩니다.
16 = (7.2 + 7.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·16/14.3) = 4.685 m/s
유량
Q = V·π·D²/4 = 4.685·0.04909 = 0.23 m³/s = 230 L/s
답
Q = 230 L/s
7.펌프와 펌프 동력
답: Pshaft = 30.52 kW
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
수동력
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·56 = 21.97 kW
축동력
Pshaft = Ph/η = 21.97/0.72 = 30.52 kW
답
Pshaft = 30.52 kW
8.펌프와 펌프 동력
답: H = 44.69 m
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
속도
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
손실 수두
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0.3046 = 6.397 m
압력 수두
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m
펌프 양정
두 수면 모두 사실상 정지해 있으므로 속도 수두 항은 없습니다.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 23 + 15.29 + 6.397 = 44.69 m
답
H = 44.69 m
9.개수로 흐름(매닝)
답: Q = 49.55 m³/s
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (2.5 + 2·1.9)·1.9 = 11.97 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·1.9·√(1 + 2²) = 11 m
R = A/P = 1.088 m
속도
V = (1/0.014)·1.0882/3·0.0031/2 = 4.14 m/s
유량
Q = A·V = 11.97·4.14 = 49.55 m³/s
답
Q = 49.55 m³/s
10.개수로 흐름(매닝)
답: S = 0.003929 m/m
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (2 + 1·1.7)·1.7 = 6.29 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1.7·√(1 + 1²) = 6.808 m
R = A/P = 0.9239 m
매닝 공식을 S에 대해 풀기
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.022·17/(6.29·0.9486) = 0.06268
S = 0.06268² = 0.003929
답
S = 0.003929
1킬로미터당 3.929 m의 낙차입니다.
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