수리학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

펌프와 펌프 동력

수동력: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력: P_shaft = P_h/η_pump
전기 입력 동력: P_el = P_shaft/η_motor
펌프 양정: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
시스템 손실: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2연습 문제

1.정수압보통

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.정수압어려움

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1.5 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 y_cp을(를) 구하시오.

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.연속 방정식과 베르누이보통

풍동의 피토 정압관이 정체압과 정압의 차이를 50 Pa로 나타낸다. 공기 밀도는 1.2 kg/m³이다. 풍속 v을(를) 구하시오.

p₀ − p = 50 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

4.연속 방정식과 베르누이어려움

수평 벤투리미터(입구 200 mm, 목 100 mm)에 물이 흐른다. 입구와 목 사이에 연결된 수은 U자관 마노미터의 액면 차는 90 mm이다. 유량 계수는 0.96이다. 유량 Q을(를) 구하시오. 물은 ρ = 1000 kg/m³, 수은은 13 600 kg/m³, g = 9.81 m/s²를 사용하시오.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmΔh = 90 mmC_d = 0.96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.관 마찰과 손실 수두보통

물이 길이 400 m, 안지름 250 mm인 관을 평균 유속 2.2 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.028, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 h_f을(를) 구하시오.

V = 2.2 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.관 마찰과 손실 수두어려움

두 개방 저수지가 길이 200 m, 안지름 300 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 2), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 100 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?

Q = 100 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

7.펌프와 펌프 동력보통

효율 80%인 펌프가 양정 58 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 20 L/s 송출한다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 필요한 축동력 P_shaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 20 L/sH = 58 mη = 80%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.펌프와 펌프 동력어려움

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 75 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 8 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 500 m, 안지름 250 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.02이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 500 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 8

H = m

9.개수로 흐름(매닝)보통

사다리꼴 깨끗한 흙 수로의 바닥 폭은 1.5 m, 측면 경사는 3:1(수평:연직)이다. 물이 수심 1.1 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.022, 수로 바닥 경사는 S = 0.0008이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 1.5 my = 1.1 mz = 3n = 0.022S = 0.0008

Q = m³/s

10.개수로 흐름(매닝)어려움

바닥 폭 3 m, 측면 경사 1.5:1(수평:연직)인 사다리꼴 자갈 수로가 수심 1.7 m의 등류로 17 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.025. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 17 m³/sb = 3 my = 1.7 mz = 1.5n = 0.025

S = m/m

3용액

1.정수압

답: F = 27.59 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.25·2.25 = 27.59 kN

답

F = 27.59 kN

2.정수압

답: y_cp = 2.333 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.25·2.25 = 62.58 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 0.4219/(2.25·2.25) = 2.333 m

답

y_cp = 2.333 m

3.연속 방정식과 베르누이

답: v = 9.129 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

정체점까지의 베르누이 식

유동이 끝부분에서 정지하므로 운동 에너지가 추가 압력으로 나타납니다.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·50/1.2) = 9.129 m/s

답

v = 9.129 m/s

4.연속 방정식과 베르누이

답: Q = 36.73 L/s

마노미터에서 구한 압력 차

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.09 = 11125 Pa

목의 유속

연속 방정식과 베르누이 식을 함께 쓰면 이상적인 목의 유속이 나옵니다.

β = 100/200 = 0.5

v₂ = √(2·11125/(1000·(1 − 0.0625))) = 4.872 m/s

실제 유량

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.96·0.007854·4.872 = 0.03673 m³/s = 36.73 L/s

답

Q = 36.73 L/s

5.관 마찰과 손실 수두

답: h_f = 11.05 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도 수두

V²/(2g) = 2.2²/(2·9.81) = 0.2467 m

다르시–바이스바흐 식

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(400/0.25)·2.2²/(2·9.81) = 11.05 m

답

h_f = 11.05 m

6.관 마찰과 손실 수두

답: Δz = 1.469 m

속도

V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

손실 계수

f·L/D = 0.015·200/0.3 = 10

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

전체 손실 수두

h_f = 10·0.102 = 1.02 m

h_m = 4.4·0.102 = 0.4488 m

Δz = h_f + h_m = 1.469 m

답

Δz = 1.469 m

7.펌프와 펌프 동력

답: P_shaft = 14.22 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: P_shaft = P_h/η_pump, 그리고 전동기는 P_el = P_shaft/η_motor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·58 = 11.38 kW

축동력

P_shaft = P_h/η = 11.38/0.8 = 14.22 kW

답

P_shaft = 14.22 kW

8.펌프와 펌프 동력

답: H = 13.71 m

속도

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

손실 수두

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0.119 = 5.711 m

펌프 양정

두 수면 모두 개방되어 있고 사실상 정지해 있으므로 압력 항과 속도 항은 없어집니다.

H = Δz + h_L = 8 + 5.711 = 13.71 m

답

H = 13.71 m

9.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 4.959 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 3·1.1)·1.1 = 5.28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.1·√(1 + 3²) = 8.457 m

R = A/P = 0.6243 m

속도

V = (1/0.022)·0.6243^2/3·0.0008^1/2 = 0.9391 m/s

유량

Q = A·V = 5.28·0.9391 = 4.959 m³/s

답

Q = 4.959 m³/s

10.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.001942 m/m

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (3 + 1.5·1.7)·1.7 = 9.435 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1.7·√(1 + 1.5²) = 9.129 m

R = A/P = 1.033 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·17/(9.435·1.022) = 0.04407

S = 0.04407² = 0.001942

답

S = 0.001942

1킬로미터당 1.942 m의 낙차입니다.

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