수리학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정수압

깊이에 따른 압력
p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘
F = ρg·hc·A
압력 중심
yp = yc + Ic/(ycA)
직사각형
Ic = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식
A1v1 = A2v2
베르누이 방정식
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
유량
Q = A·v
원의 넓이
A = πd²/4

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역
Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속
V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실
hm = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값
입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하
Δp = ρ·g·hf
두 개의 개방 저수지
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

펌프와 펌프 동력

수동력
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력
Pshaft = Ph/ηpump
전기 입력 동력
Pel = Pshaft/ηmotor
펌프 양정
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
시스템 손실
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식
V = (1/n)·R2/3·S1/2
유량
Q = A·V
동수 반경
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형
A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수
R = D/4
필요 경사
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2연습 문제

1.정수압보통
수문d = 0.5 mH = 2.5 m

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
수문d = 2.5 mH = 3 m

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.연속 방정식과 베르누이보통
12d1​ = 100 mm, p1​ = ?d2​ = 75 mm, p2​ = 100 kPa

물이 23 L/s로 100 mm에서 75 mm로 좁아지는 수평관을 흐른다. 좁은 구간의 압력은 100 kPa이다. 손실을 무시하고 넓은 구간의 압력 p1을(를) 구하시오.

Q = 23 L/sd1 = 100 mmd2 = 75 mmp2 = 100 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.연속 방정식과 베르누이어려움
H = ?d1​ = 75 mmp1​ = 50 kPad2​ = 20 mm

분수 노즐이 똑바로 위를 향한다. 노즐 바로 아래 공급관의 지름은 75 mm, 계기 압력은 50 kPa이다. 노즐 출구 지름은 20 mm이며 노즐 전후의 높이 차는 무시할 수 있다. 손실과 공기 저항을 무시하고 분류가 노즐 위로 올라가는 높이 H을(를) 구하시오. g = 9.81 m/s²를 사용하시오.

d1 = 75 mmp1 = 50 kPa (게이지압)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.관 마찰과 손실 수두보통
V = 2.1 m/sD = 150 mmL = 50 mf = 0.028

물이 길이 50 m, 안지름 150 mm인 관을 평균 유속 2.1 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.028, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 hf을(를) 구하시오.

V = 2.1 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.관 마찰과 손실 수두어려움
K = 5Δz = 30 mL = 150 m, D = 100 mm, f = 0.0152× 엘보 (K = 0.3)

두 개방 저수지가 길이 150 m, 안지름 100 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.015인 관으로 연결되어 있다. 위 저수지의 수면은 아래 저수지 수면보다 30 m 높다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 2개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 Q을(를) L/s 단위로 구하시오.

Δz = 30 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.펌프와 펌프 동력보통
PQ = 150 L/sH = 78 m

펌프가 양정 78 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 150 L/s 송출한다. 펌프 효율은 72%이고, 펌프를 구동하는 전동기의 효율은 88%이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 전동기가 소비하는 전력 Pel을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 150 L/sH = 78 mηpump = 72%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.펌프와 펌프 동력어려움
350 kPa (게이지압)PQ = 50 L/sΔz = 5 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0.022, ΣK = 8

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 50 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 5 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 150 m, 안지름 150 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.022이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 위 탱크는 밀폐되어 있고 수면 위 공기의 게이지 압력은 350 kPa이다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 8ptank = 350 kPa
H = m
9.개수로 흐름(매닝)보통
b = 6 my = 1.6 mn = 0.03, S = 0.005

직사각형 풀로 덮인 흙 수로의 폭은 6 m이다. 물이 수심 1.6 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.03, 수로 바닥 경사는 S = 0.005이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 6 my = 1.6 mn = 0.03S = 0.005
Q = m³/s
10.개수로 흐름(매닝)어려움
D = 375 mmn = 0.013, V = 1 m/s

안지름 375 mm인 콘크리트 하수관(매닝 n = 0.013)이 막 만수로 흐를 때 자정 유속 1 m/s에 도달해야 한다. 최소 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

D = 375 mmn = 0.013V = 1 m/s
S = m/m

3용액

1.정수압

답: F = 128.8 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
수문d = 0.5 mH = 2.5 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·7.5 = 128.8 kN

답

F = 128.8 kN
2.정수압

답: F = 222.5 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
수문d = 2.5 mH = 3 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4·4.5 = 222.5 kN

답

F = 222.5 kN
3.연속 방정식과 베르누이

답: p1 = 109.3 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

유속

v1 = Q/A1 = 0.023/0.007854 = 2.928 m/s
v2 = Q/A2 = 0.023/0.004418 = 5.206 m/s

베르누이 방정식

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 100 + ½·1000·(5.206² − 2.928²)/1000 = 100 + 9.264 = 109.3 kPa

답

p1 = 109.3 kPa
4.연속 방정식과 베르누이

답: H = 5.123 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

출구 유속

β = 20/75 = 0.2667
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0.9949)) = 10.03 m/s

분류의 높이

분류를 따른 베르누이 식: 꼭대기에서 유속은 0이고 압력은 다시 대기압입니다.

H = v2²/(2g) = 10.03²/(2·9.81) = 5.123 m

답

H = 5.123 m
5.관 마찰과 손실 수두

답: hf = 2.098 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도 수두

V²/(2g) = 2.1²/(2·9.81) = 0.2248 m

다르시–바이스바흐 식

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(50/0.15)·2.1²/(2·9.81) = 2.098 m

답

hf = 2.098 m
6.관 마찰과 손실 수두

답: Q = 35.02 L/s

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

손실 계수

f·L/D = 0.015·150/0.1 = 22.5
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

에너지 방정식

두 수면 모두 대기에 열려 있고 사실상 정지해 있으므로 Δz 전체가 관에서 손실됩니다.

30 = (22.5 + 7.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·30/29.6) = 4.459 m/s

유량

Q = V·π·D²/4 = 4.459·0.007854 = 0.03502 m³/s = 35.02 L/s

답

Q = 35.02 L/s
7.펌프와 펌프 동력

답: Pel = 181.2 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·78 = 114.8 kW

축동력

Pshaft = 114.8/0.72 = 159.4 kW

전기 입력 동력

Pel = 159.4/0.88 = 181.2 kW

답

Pel = 181.2 kW
8.펌프와 펌프 동력

답: H = 52.92 m

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

속도

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

손실 수두

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0.408 = 12.24 m

압력 수두

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m

펌프 양정

두 수면 모두 사실상 정지해 있으므로 속도 수두 항은 없습니다.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 35.68 + 12.24 = 52.92 m

답

H = 52.92 m
9.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 23.28 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = b·y = 6·1.6 = 9.6 m²
P = b + 2y = 6 + 2·1.6 = 9.2 m
R = A/P = 1.043 m

속도

V = (1/0.03)·1.0432/3·0.0051/2 = 2.425 m/s

유량

Q = A·V = 9.6·2.425 = 23.28 m³/s

답

Q = 23.28 m³/s
10.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.003968 m/m

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

동수 반경

R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S = (n·V/R2/3)² = (0.013·1/0.2064)² = 0.003968

답

S = 0.003968

1킬로미터당 3.968 m의 낙차입니다.

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