정수압
- 깊이에 따른 압력
- p = ρgh
- 수직 벽에 작용하는 힘
- F = ρg·hc·A
- 압력 중심
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 직사각형
- Ic = bH³/12
수리학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
연속 방정식과 베르누이
- 연속 방정식
- A1v1 = A2v2
- 베르누이 방정식
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 유량
- Q = A·v
- 원의 넓이
- A = πd²/4
관 마찰과 손실 수두
- 레이놀즈 수
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 유동 영역
- Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
- 평균 유속
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 다르시–바이스바흐 식
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 부차 손실
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 대표적인 K 값
- 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
- 압력 강하
- Δp = ρ·g·hf
- 두 개의 개방 저수지
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 자유 유출
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
펌프와 펌프 동력
- 수동력
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 축동력
- Pshaft = Ph/ηpump
- 전기 입력 동력
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 펌프 양정
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 시스템 손실
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
개수로 흐름(매닝)
- 매닝 공식
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 유량
- Q = A·V
- 동수 반경
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 직사각형
- A = b·y, P = b + 2y
- 사다리꼴(측면 경사 z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 원형 관, 만수 또는 반수
- R = D/4
- 필요 경사
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2연습 문제
1.정수압보통
폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 2 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.
d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.연속 방정식과 베르누이보통
물이 21 L/s로 100 mm에서 50 mm로 좁아지는 수평관을 흐른다. 좁은 구간의 압력은 100 kPa이다. 손실을 무시하고 넓은 구간의 압력 p1을(를) 구하시오.
Q = 21 L/sd1 = 100 mmd2 = 50 mmp2 = 100 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.연속 방정식과 베르누이어려움
물이 75 mm에서 40 mm(으)로 좁아지며 4 m 올라가는 관을 따라 위로 흐른다. 단면 1의 압력은 200 kPa, 유속은 0.75 m/s이다. 손실을 무시하고 단면 2의 압력 p2을(를) 구하시오.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 200 kPav1 = 0.75 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.관 마찰과 손실 수두보통
물이 길이 500 m, 안지름 75 mm인 관을 5 L/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.018, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 hf을(를) 구하시오.
Q = 5 L/sL = 500 mD = 75 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.관 마찰과 손실 수두어려움
두 개방 저수지가 길이 150 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.025인 관으로 연결되어 있다. 위 저수지의 수면은 아래 저수지 수면보다 33 m 높다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 2개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 0.2), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 Q을(를) L/s 단위로 구하시오.
Δz = 33 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.펌프와 펌프 동력보통
펌프가 양정 12 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 15 L/s 송출한다. 펌프 효율은 60%이고, 펌프를 구동하는 전동기의 효율은 88%이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 전동기가 소비하는 전력 Pel을(를) kW 단위로 구하시오.
Q = 15 L/sH = 12 mηpump = 60%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.펌프와 펌프 동력어려움
펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 15 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 13 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 300 m, 안지름 100 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.025이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 8(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 위 탱크는 밀폐되어 있고 수면 위 공기의 게이지 압력은 150 kPa이다. 펌프가 더해야 하는 양정 H을(를) 구하시오.
Q = 15 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 100 mmf = 0.025ΣK = 8ptank = 150 kPa
H = m
9.개수로 흐름(매닝)보통
안지름 600 mm인 콘크리트 우수관이 반만 차서 흐른다. 매닝 n = 0.013, 경사는 S = 0.004이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.
D = 600 mmn = 0.013S = 0.004
Q = m³/s
10.개수로 흐름(매닝)어려움
바닥 폭 3 m, 측면 경사 3:1(수평:연직)인 사다리꼴 벽돌 쌓기 수로가 수심 1.6 m의 등류로 18 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.015. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.
Q = 18 m³/sb = 3 my = 1.6 mz = 3n = 0.015
S = m/m
3용액
1.정수압
답: F = 119.6 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·3.75 = 119.6 kN
답
F = 119.6 kN
2.정수압
답: F = 71.74 kN
평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.
도심 깊이와 면적
yc = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
합력
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·2.25 = 71.74 kN
답
F = 71.74 kN
3.연속 방정식과 베르누이
답: p1 = 153.6 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
유속
v1 = Q/A1 = 0.021/0.007854 = 2.674 m/s
v2 = Q/A2 = 0.021/0.001963 = 10.7 m/s
베르누이 방정식
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 100 + ½·1000·(10.7² − 2.674²)/1000 = 100 + 53.62 = 153.6 kPa
답
p1 = 153.6 kPa
4.연속 방정식과 베르누이
답: p2 = 157.6 kPa
연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.
연속 방정식과 베르누이
Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(75/40)² = 2.637 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 2.637²)/1000 = −3.195 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 200 + (−3.195) − 39.24 = 157.6 kPa
답
p2 = 157.6 kPa
5.관 마찰과 손실 수두
답: hf = 7.834 m
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
평균 유속
A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.005/0.004418 = 1.132 m/s
속도 수두
V²/(2g) = 1.132²/(2·9.81) = 0.06529 m
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(500/0.075)·1.132²/(2·9.81) = 7.834 m
답
hf = 7.834 m
6.관 마찰과 손실 수두
답: Q = 174.2 L/s
관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.
손실 계수
f·L/D = 0.025·150/0.2 = 18.75
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3
에너지 방정식
두 수면 모두 대기에 열려 있고 사실상 정지해 있으므로 Δz 전체가 관에서 손실됩니다.
33 = (18.75 + 2.3)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·33/21.05) = 5.546 m/s
유량
Q = V·π·D²/4 = 5.546·0.03142 = 0.1742 m³/s = 174.2 L/s
답
Q = 174.2 L/s
7.펌프와 펌프 동력
답: Pel = 3.344 kW
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
수동력
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·12 = 1.766 kW
축동력
Pshaft = 1.766/0.6 = 2.943 kW
전기 입력 동력
Pel = 2.943/0.88 = 3.344 kW
답
Pel = 3.344 kW
8.펌프와 펌프 동력
답: H = 43.72 m
펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.
속도
V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
손실 수두
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 8)·0.1859 = 15.43 m
압력 수두
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m
펌프 양정
두 수면 모두 사실상 정지해 있으므로 속도 수두 항은 없습니다.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 13 + 15.29 + 15.43 = 43.72 m
답
H = 43.72 m
9.개수로 흐름(매닝)
답: Q = 0.1942 m³/s
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = 0.1414 m², R = D/4 = 0.15 m
속도
V = (1/0.013)·0.152/3·0.0041/2 = 1.373 m/s
유량
Q = A·V = 0.1414·1.373 = 0.1942 m³/s
답
Q = 0.1942 m³/s
10.개수로 흐름(매닝)
답: S = 0.0005003 m/m
매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.
단면 형상
A = (b + z·y)·y = (3 + 3·1.6)·1.6 = 12.48 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1.6·√(1 + 3²) = 13.12 m
R = A/P = 0.9513 m
매닝 공식을 S에 대해 풀기
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.015·18/(12.48·0.9672) = 0.02237
S = 0.02237² = 0.0005003
답
S = 0.0005003
1킬로미터당 0.5003 m의 낙차입니다.
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