수리학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

정수압

깊이에 따른 압력
p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘
F = ρg·hc·A
압력 중심
yp = yc + Ic/(ycA)
직사각형
Ic = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식
A1v1 = A2v2
베르누이 방정식
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
유량
Q = A·v
원의 넓이
A = πd²/4

관 마찰과 손실 수두

레이놀즈 수
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역
Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속
V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실
hm = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값
입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하
Δp = ρ·g·hf
두 개의 개방 저수지
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

펌프와 펌프 동력

수동력
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
축동력
Pshaft = Ph/ηpump
전기 입력 동력
Pel = Pshaft/ηmotor
펌프 양정
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
시스템 손실
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

개수로 흐름(매닝)

매닝 공식
V = (1/n)·R2/3·S1/2
유량
Q = A·V
동수 반경
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형
A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수
R = D/4
필요 경사
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2연습 문제

1.정수압보통
수문d = 3 mH = 3 m

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 3 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 3 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.정수압어려움
수문d = 4 mH = 2 m

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 바닷물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.연속 방정식과 베르누이보통
12d1​ = 200 mm, p1​ = 290 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?

물이 200 mm에서 100 mm(으)로 좁아지는 수평관을 흐른다. 넓은 부분의 압력은 290 kPa, 유속은 2.5 m/s이다. 손실을 무시하고 좁은 부분의 압력 p2을(를) 구하시오.

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 290 kPav1 = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.연속 방정식과 베르누이어려움
12d1​ = 75 mm, p1​ = 210 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 2 m

물이 75 mm에서 50 mm(으)로 좁아지며 2 m 올라가는 관을 따라 위로 흐른다. 단면 1의 압력은 210 kPa, 유속은 0.5 m/s이다. 손실을 무시하고 단면 2의 압력 p2을(를) 구하시오.

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 210 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.관 마찰과 손실 수두보통
V = 2.3 m/sD = 200 mmL = 100 mf = 0.018

물이 길이 100 m, 안지름 200 mm인 관을 평균 유속 2.3 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.018, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 hf을(를) 구하시오.

V = 2.3 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.관 마찰과 손실 수두어려움
K = 5Δz = ?L = 200 m, D = 250 mm, f = 0.0254× 엘보 (K = 0.3)

두 개방 저수지가 길이 200 m, 안지름 250 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.025인 관으로 연결되어 있다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 4개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 5), 아래 저수지로의 출구(K = 1.0)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 80 L/s를 얻으려면 두 저수지의 수위 차 Δz은(는) 얼마여야 하는가?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
7.펌프와 펌프 동력보통
PQ = 40 L/sH = 34 m

시험에서 펌프가 양정 34 m에 대해 물(ρ = 1000 kg/m³)을 40 L/s 송출하고, 이때 축 동력은 15.7 kW이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율 η을(를) 퍼센트로 구하시오.

Q = 40 L/sH = 34 mPshaft = 15.7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.펌프와 펌프 동력어려움
PQ = 80 L/sΔz = 7 mL = 500 m, D = 200 mm, f = 0.022, ΣK = 6

펌프가 물(ρ = 1000 kg/m³)을 80 L/s로 개방된 아래 저수지에서 수면이 7 m 더 높은 위 탱크로 보낸다. 관은 길이 500 m, 안지름 200 mm, 다르시 마찰 계수 f = 0.022이며, 부차 손실 계수의 합은 ΣK = 6(입구와 출구 포함)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 펌프 효율은 80%이다. 축동력 Pshaft을(를) kW 단위로 구하시오.

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 6η = 80%
Pshaft = kW
9.개수로 흐름(매닝)보통
b = 5 my = 1 m2 : 1n = 0.012, S = 0.0008

사다리꼴 마감된 콘크리트 수로의 바닥 폭은 5 m, 측면 경사는 2:1(수평:연직)이다. 물이 수심 1 m로 등류로 흐른다. 매닝 n = 0.012, 수로 바닥 경사는 S = 0.0008이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

b = 5 my = 1 mz = 2n = 0.012S = 0.0008
Q = m³/s
10.개수로 흐름(매닝)어려움
b = 2.5 my = 1.8 m2 : 1n = 0.022, Q = 11 m³/s

바닥 폭 2.5 m, 측면 경사 2:1(수평:연직)인 사다리꼴 깨끗한 흙 수로가 수심 1.8 m의 등류로 11 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.022. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 11 m³/sb = 2.5 my = 1.8 mz = 2n = 0.022
S = m/m

3용액

1.정수압

답: F = 198.7 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
수문d = 3 mH = 3 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·4.5 = 198.7 kN

답

F = 198.7 kN
2.정수압

답: F = 201.1 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
수문d = 4 mH = 2 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·5·4 = 201.1 kN

답

F = 201.1 kN
3.연속 방정식과 베르누이

답: p2 = 243.1 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(200/100)² = 10 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 290 + (−46.88) = 243.1 kPa

답

p2 = 243.1 kPa
4.연속 방정식과 베르누이

답: p2 = 189.9 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(75/50)² = 1.125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 210 + (−0.5078) − 19.62 = 189.9 kPa

답

p2 = 189.9 kPa
5.관 마찰과 손실 수두

답: hf = 2.427 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도 수두

V²/(2g) = 2.3²/(2·9.81) = 0.2696 m

다르시–바이스바흐 식

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(100/0.2)·2.3²/(2·9.81) = 2.427 m

답

hf = 2.427 m
6.관 마찰과 손실 수두

답: Δz = 3.75 m

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

속도

V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
V²/(2g) = 0.1354 m

손실 계수

f·L/D = 0.025·200/0.25 = 20
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

전체 손실 수두

hf = 20·0.1354 = 2.708 m
hm = 7.7·0.1354 = 1.042 m
Δz = hf + hm = 3.75 m

답

Δz = 3.75 m
7.펌프와 펌프 동력

답: η = 84.98 %

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

수동력

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·34 = 13.34 kW

효율

η = Ph/Pshaft = 13.34/15.7 = 84.98%

답

η = 84.98%
8.펌프와 펌프 동력

답: Pshaft = 26.64 kW

펌프 동력: 물에 주어지는 동력은 수동력 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp입니다. 펌프에 손실이 있으므로 축은 이보다 많이 전달해야 합니다: Pshaft = Ph/ηpump, 그리고 전동기는 Pel = Pshaft/ηmotor를 소비합니다. 펌프 양정 H는 에너지 방정식에서 나옵니다: 실양정 + 압력 수두 + 모든 마찰 손실과 부차 손실.

속도

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

손실 수두

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (55 + 6)·0.3305 = 20.16 m

펌프 양정

H = Δz + hL = 7 + 20.16 = 27.16 m

축동력

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·27.16/0.8 = 26.64 kW

답

Pshaft = 26.64 kW
9.개수로 흐름(매닝)

답: Q = 13.49 m³/s

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (5 + 2·1)·1 = 7 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1·√(1 + 2²) = 9.472 m
R = A/P = 0.739 m

속도

V = (1/0.012)·0.7392/3·0.00081/2 = 1.927 m/s

유량

Q = A·V = 7·1.927 = 13.49 m³/s

답

Q = 13.49 m³/s
10.개수로 흐름(매닝)

답: S = 0.0004606 m/m

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

단면 형상

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 2·1.8)·1.8 = 10.98 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·1.8·√(1 + 2²) = 10.55 m
R = A/P = 1.041 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.022·11/(10.98·1.027) = 0.02146
S = 0.02146² = 0.0004606

답

S = 0.0004606

1킬로미터당 0.4606 m의 낙차입니다.

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