측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
배설량
Vab = Va − Vb
균형
R1/R2 = R3/R4
슬라이드 와이어 브리지
R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
게이지율
ΔR/R = GF·ε
브리지 출력
1/4 브리지 Vs·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs·GF·ε
미소 변화, 한 변
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
응력
σ = E·ε

방법

  1. 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
  2. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
  3. 불평형 브리지는 분압기에서 Va와 Vb를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
  4. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건
fs > 2·fmax, fN = fs/2
에일리어스 주파수
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
스텝 크기
1 LSB = VFSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림)
±½ LSB
절사형 ADC 코드
D = ⌊Vin/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수
2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률
채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기
baud = fclk/(16·D)

방법

  1. 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
  2. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs|에 나타납니다.
  3. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
  4. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
비반전 증폭기
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
가산 증폭기
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
이상적인 연산 증폭기
V+ = V−, Iin = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통
+−6 V220 Ω220 Ω220 Ω220 Ωab+−

220 Ω 스트레인 게이지가 네 변이 220 Ω으로 같은 브리지의 한 변(R₂)이며 여기 전압은 6 V입니다. 게이지에서 소비되는 전력 Pg을(를) mW 단위로 구하시오. 자기 발열이 여기 전압을 제한합니다.

Vs = 6 VR = 220 Ω
Pg = mW
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움
+−2.5 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−0.328 mV

E = 200 GPa인 부재에 붙인 스트레인 게이지(GF = 2.1)가 2.5 V로 여기되는 1/4 브리지를 이룹니다. 출력은 0.328 mV로 읽힙니다. 축 방향 응력 σ을(를) MPa 단위로 구하시오.

Vs = 2.5 VGF = 2.1Vo = 0.328 mVE = 200 GPa
σ = MPa
3.데이터 수집과 표본화보통
Vin​N = 123.3 V2ᴺ − 101 LSB2.368 V?

입력 범위 0~3.3 V인 12비트 ADC가 절사합니다: 출력 코드는 1 LSB = VFSR/2ᴺ일 때 ⌊Vin/LSB⌋입니다. 입력이 2.368 V일 때 십진수 출력 코드 D을(를) 구하시오.

N = 12VFSR = 3.3 VVin = 2.368 V
D =
4.데이터 수집과 표본화어려움
1216⋮16 ch∿01tc​ = 1 µstset​ = 0.5 µsfs​ = ?

16채널 멀티플렉서가 ADC 하나에 연결됩니다. 변환 한 번에 1 µs가 걸리고, 채널을 바꿀 때마다 입력이 안정되는 데 0.5 µs가 필요합니다. 채널은 쉬지 않고 차례로 스캔됩니다. 각 채널의 표본화율 fs을(를) kHz 단위로 구하시오.

n = 16tc = 1 µstset = 0.5 µs
fs = kHz
5.연산 증폭기 회로보통
−+Vout​Rf​ = 2 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = 2 VRa​ = 2 kΩRb​ = 22 kΩ

연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

Vin = 2 VRa = 2 kΩRb = 22 kΩR1 = 2 kΩRf = 2 kΩ
Vout = V
6.연산 증폭기 회로어려움
−+Vout​Rf​ = 100 kΩV1​ = 0.1 VR1​ = 22 kΩV2​ = −1.1 VR2​ = 47 kΩ

가산 증폭기는 ±15 V 전원의 이상 연산 증폭기를 사용한다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

V1 = 0.1 VV2 = −1.1 VR1 = 22 kΩR2 = 47 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
7.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.

V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
8.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 2 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩIR2​AR4​8 ΩBR6​2 Ω

R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 30 ΩR4 = 8 ΩR5 = 5 ΩR6 = 2 Ω
IR2 = A
9.테브난·노턴보통
R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAab

노턴 전류 IN을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.

V1 = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
10.테브난·노턴어려움
R1​ = 2 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​4 ABab

노턴 전류 IN을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.

V1 = 36 VIs = 4 AR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 30 Ω
IN = A

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: Pg = 40.91 mW

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1–R2는 Va = Vs·R2/(R1 + R2)를, 오른쪽 분압기 R3–R4는 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb입니다. 브리지는 R1/R2 = R3/R4, 즉 R1·R4 = R2·R3일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1∥R2 + R3∥R4인 테브난 전원입니다.

게이지에 걸리는 전압

V = 6/2 = 3 V

전력

Pg = 3²/220 = 40.91 mW

답

Pg = 40.91 mW
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: σ = 49.98 MPa

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

변형률

ε = 4·0.000328/(2.5·2.1) = 0.0002499

응력

σ = 200·10³ MPa·0.0002499 = 49.98 MPa

답

σ = 49.98 MPa
3.데이터 수집과 표본화

답: D = 2939

ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.

스텝 크기

1 LSB = 3.3/212 = 0.8057 mV

코드

Vin/LSB = 2368/0.8057 = 2939
코드 = ⌊2939⌋ = 2939

답

D = 2939

이진수로는 101101111011입니다.

4.데이터 수집과 표본화

답: fs = 41.67 kHz

데이터 전송률: 각 채널은 초당 fs개의 N비트 표본을 내보내므로 원시 전송률은 채널 수 × fs × N bit/s입니다. 메모리에서는 표본이 전체 바이트를 차지하므로(12비트 표본은 2바이트로 저장) 기록에 필요한 메모리는 채널 수 × fs × 표본당 바이트 수 × 시간입니다. 멀티플렉스 ADC는 채널을 차례로 변환합니다. (정착 시간을 포함한) 변환 한 번에 t가 걸리므로 n개 채널을 한 바퀴 도는 데 n·t가 걸리고, 각 채널은 1/(n·t)로 표본화됩니다.

채널당 시간

1 + 0.5 = 1.5 µs

스캔당 시간

16·1.5 = 24 µs

채널당 표본화율

fs = 1/24 µs = 41.67 kHz

답

fs = 41.67 kHz
5.연산 증폭기 회로

답: Vout = 3.667 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

+ 입력의 전압

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 2·22/(2 + 22) = 1.833 V

비반전 이득

V₋ = V₊이고, R₁을 흐르는 전류는 Rf도 흐릅니다.

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = 1.833·(1 + 2/2) = 3.667 V

답

Vout = 3.667 V
6.연산 증폭기 회로

답: Vout = 1.886 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 전류

V₋ = 0이므로 각 입력 저항에는 입력 전압 전체가 걸립니다.

I1 = V1/R1 = 0.1/22 = 0.004545 mA
I2 = V2/R2 = −1.1/47 = −0.0234 mA
If = I1 + I2 = −0.01886 mA

출력 전압

Vout = −Rf·If = −100·(−0.01886) = 1.886 V

답

Vout = 1.886 V
7.저항의 직렬·병렬

답: Req = 18.44 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​5 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 6 + 5 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 5·11/(5+11) = 3.438 Ω
Req = R1 + 3.438 = 15 + 3.438 = 18.44 Ω

답

Req = 18.44 Ω
8.저항의 직렬·병렬

답: IR2 = 1.146 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 2 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​8 ΩBR6​2 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 5 + 2 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 3.733 Ω
R3 + 3.733 = 33.73 Ω
R2 ∥ 33.73 = 6.466 Ω
Req = R1 + 6.466 = 2 + 6.466 = 8.466 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 12/8.466 = 1.417 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1.417·2 = 9.165 V
IR2 = VA/R2 = 9.165/8 = 1.146 A

답

IR2 = 1.146 A
9.테브난·노턴

답: IN = 1.875 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω단락R2​20 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.333 + 2 = 5.333 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·20/(4+20) = 10 V
IN​1.875 ARth​5.333 Ωab

노턴 등가 회로

노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.

IN = Vth/Rth = 10/5.333 = 1.875 A
10.테브난·노턴

답: IN = 4.818 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 2 ΩR3​ = 30 Ω단락R2​5 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 2·5/(2+5) = 1.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.429 + 30 = 31.43 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 25.71 + 4·1.429 = 31.43 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 31.43 + 4·30 = 151.4 V
IN​4.818 ARth​31.43 Ωab

노턴 등가 회로

노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.

IN = Vth/Rth = 151.4/31.43 = 4.818 A

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