1 공식과 풀이 방법휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지
분압기 전압 Va = Vs R2 /(R1 + R2 ), Vb = Vs R4 /(R3 + R4 )
배설량 Vab = Va − Vb
균형 R1 /R2 = R3 /R4
슬라이드 와이어 브리지 R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항 Rth = R1 ∥R2 + R3 ∥R4
게이지율 ΔR/R = GF·ε
브리지 출력 1/4 브리지 Vs ·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs ·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs ·GF·ε
미소 변화, 한 변 Vab ≈ Vs ·ΔR/(4R)
응력 σ = E·ε 방법 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요. 불평형 브리지는 분압기에서 Va 와 Vb 를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs ·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요. 데이터 수집과 표본화
나이퀴스트 조건 fs > 2·fmax , fN = fs /2
에일리어스 주파수 fa = |f − k·fs |, k = round(f/fs )
스텝 크기 1 LSB = VFSR /2ᴺ
양자화 오차(반올림) ±½ LSB
절사형 ADC 코드 D = ⌊Vin /LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수 2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률 채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC fs = 1/(n·(tc + tset ))
UART Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기 baud = fclk /(16·D) 방법 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs /2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs 의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs |에 나타납니다. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR /2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트. 연산 증폭기 회로
반전 증폭기 Vout = −(Rf /Rin )·Vin
비반전 증폭기 Vout = (1 + Rf /R1 )·Vin
가산 증폭기 Vout = −Rf (V1 /R1 + V2 /R2 )
이상적인 연산 증폭기 V+ = V− , Iin = 0 저항의 직렬·병렬
저항의 직렬 연결 Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬 Req = R1 R2 / (R1 + R2 )
옴의 법칙 V = I·R
전력 P = V·I = I²R = V²/R 방법 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요. 단계마다 회로를 다시 그리세요. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요. 테브난·노턴
테브난 전압 Vth = Vopen circuit
테브난 저항 Rth : 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류 IN = Vth /Rth
부하 전류 IL = Vth /(Rth + RL )
최대 전력 전달 RL = Rth , Pmax = Vth ²/(4Rth ) 방법 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth 입니다. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth 입니다. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth 와 Rth 의 직렬. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth /Rth , RN = Rth 를 병렬로. 2 연습 문제1. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지 보통
+ − 9 V 330 Ω 330 Ω + ΔR 330 Ω 330 Ω a b + − 22.39 mV
네 변이 모두 330 Ω인 브리지에 9 V를 공급합니다. 센서 R₂가 변하면 출력이 Vab = 22.39 mV로 읽힙니다. R₂의 정확한 변화량 ΔR 을(를) 구하시오.
Vs = 9 V R = 330 Ω Vab = 22.39 mV
ΔR =
2. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지 어려움
+ − V 1000 Ω 1000 Ω + ΔR 1000 Ω 1000 Ω a b + −
게이지율 2.1인 1000 Ω 스트레인 게이지가 강철 막대에 부착되어 있습니다. 하중을 받으면 저항이 1.26 Ω 증가합니다. 변형률 ε 을(를) 마이크로 스트레인(µε) 단위로 구하시오.
R = 1000 Ω GF = 2.1 ΔR = 1.26 Ω
ε =
3. 데이터 수집과 표본화 보통
1 2 4 ⋮ 4 ch ∿ 01 N = 14 5 kHz ? MB 기록 장치가 4개 채널을 각각 5 kHz로 14비트 ADC로 표본화합니다. 각 표본은 전체 바이트로 저장됩니다. 10분 기록에 필요한 메모리 M 을(를) MB(1 MB = 10⁶ 바이트) 단위로 구하시오.
n = 4 fs = 5 kHz N = 14 t = 10 min
M =
4. 데이터 수집과 표본화 어려움
Vin N = ? VFSR 2ᴺ − 1 0 1 LSB 오디오 측정에 풀스케일 사인파에 대해 이상적인 신호 대 양자화 잡음비가 최소 40 dB 필요합니다. 필요한 최소 ADC 비트 수 N 을(를) 구하시오.
SQNR ≥ 40 dB
N =
5. 연산 증폭기 회로 보통
− + Vout Rf = ? R1 = 10 kΩ Vin 이 비반전 증폭기의 전압 이득이 4이(가) 되도록 하는 귀환 저항 Rf 을(를) 고르시오.
R1 = 10 kΩ Av = 4
Rf =
6. 연산 증폭기 회로 어려움
− + Vout C = 0.1 µF Vin = 0.8 V R = 2.2 kΩ 적분기는 ±15 V 전원의 이상적인 연산 증폭기를 쓰며, 출력은 ±12 V에서 포화된다. t = 0에 일정한 입력 Vin = 0.8 V를 가할 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 2 ms에서의 출력 전압 Vout 을(를) 구하시오.
Vin = 0.8 V R = 2.2 kΩ C = 0.1 µF Vsat = ±12 V t = 2 ms
Vout =
7. 저항의 직렬·병렬 보통
R1 = 3 Ω R3 = 2 Ω + − V1 12 V R2 3 Ω IR2 A R4 10 Ω B R2 에 흐르는 전류 IR2 을(를) 구하시오.
V1 = 12 V R1 = 3 Ω R2 = 3 Ω R3 = 2 Ω R4 = 10 Ω
IR2 =
8. 저항의 직렬·병렬 어려움
R1 = 8 Ω R3 = 12 Ω R5 = 10 Ω + − V1 5 V R2 5 Ω A R4 15 Ω B R6 6 Ω
전원 V1 이(가) 보는 합성 저항 Req 을(를) 구하시오.
V1 = 5 V R1 = 8 Ω R2 = 5 Ω R3 = 12 Ω R4 = 15 Ω R5 = 10 Ω R6 = 6 Ω
Req =
9. 테브난·노턴 보통
R1 = 12 Ω R3 = 15 Ω + − V1 9 V R2 20 Ω A a b
단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth 을(를) 구하시오.
V1 = 9 V R1 = 12 Ω R2 = 20 Ω R3 = 15 Ω
Vth =
10. 테브난·노턴 어려움
R1 = 12 Ω R3 = 25 Ω + − V1 24 V R2 30 Ω A Is 6 A B a b 단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth 을(를) 구하시오.
V1 = 24 V Is = 6 A R1 = 12 Ω R2 = 30 Ω R3 = 25 Ω
Vth =
3 용액1. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지
답: ΔR = 3.3 Ω
휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs 를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1 –R2 는 Va = Vs ·R2 /(R1 + R2 )를, 오른쪽 분압기 R3 –R4 는 Vb = Vs ·R4 /(R3 + R4 )를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb 입니다. 브리지는 R1 /R2 = R3 /R4 , 즉 R1 ·R4 = R2 ·R3 일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1 ∥R2 + R3 ∥R4 인 테브난 전원입니다.
노드 전압 Va = 4.5 + 0.02239 = 4.522 V
분압식 풀기 R₂ = 330·4.522/(9 − 4.522) = 333.3 Ω
ΔR = 333.3 − 330 = 3.3 Ω
2. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지
답: ε = 600 µε
스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs ·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs ·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs ·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.
상대 저항 변화 ΔR/R = 1.26/1000 = 0.00126
변형률 ε = 0.00126/2.1 = 0.0006 = 600 µε
3. 데이터 수집과 표본화
답: M = 24 MB
데이터 전송률: 각 채널은 초당 fs 개의 N비트 표본을 내보내므로 원시 전송률은 채널 수 × fs × N bit/s입니다. 메모리에서는 표본이 전체 바이트를 차지하므로(12비트 표본은 2바이트로 저장) 기록에 필요한 메모리는 채널 수 × fs × 표본당 바이트 수 × 시간입니다. 멀티플렉스 ADC는 채널을 차례로 변환합니다. (정착 시간을 포함한) 변환 한 번에 t가 걸리므로 n개 채널을 한 바퀴 도는 데 n·t가 걸리고, 각 채널은 1/(n·t)로 표본화됩니다.
메모리 M = 40000·600 = 2.4 × 10⁷ B = 24 MB
4. 데이터 수집과 표본화
답: N = 7
ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR 을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR /2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin /LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.
N에 대해 풀기 N ≥ (40 − 1.76)/6.02 = 6.352
올림하기 N = 7
검산: 6.02·7 + 1.76 = 43.9 dB ≥ 40 dB
5. 연산 증폭기 회로
답: Rf = 30 kΩ
이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.
비반전 증폭기의 이득 V₋ = V₊ = Vin 이고 R₁의 전류는 Rf 에도 흐르므로 Vout = Vin ·(1 + Rf /R₁).
Av = 1 + Rf /R1
Rf = (4 − 1)·10 = 30 kΩ
6. 연산 증폭기 회로
답: Vout = −7.273 V
이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.
입력 전류와 증가율 kΩ × µF는 밀리초입니다.
RC = 2.2 kΩ · 0.1 µF = 0.22 ms
증가율 = −Vin /(RC) = −0.8/0.22 = −3.636 V/ms
주어진 시각의 출력 이상값이 ±Vsat 안에 있으므로 적분기는 아직 잘리지 않았습니다.
Vout = −Vin ·t/(RC) = −0.8·2/0.22 = −7.273 V
7. 저항의 직렬·병렬
답: IR2 = 1.778 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
R1 = 3 Ω R3 = 2 Ω + − V1 12 V R2 3 Ω A R4 10 Ω B
먼 쪽 끝부터 저항 합치기 전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 2 + 10 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 3·12/(3+12) = 2.4 Ω
Req = R1 + 2.4 = 3 + 2.4 = 5.4 Ω
전원 전류 전원은 Req 만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1 /Req = 12/5.4 = 2.222 A
R₂에 흐르는 전류 R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.
VA = V1 − IR1 ·R1 = 12 − 2.222·3 = 5.333 V
IR2 = VA /R2 = 5.333/3 = 1.778 A
8. 저항의 직렬·병렬
답: Req = 11.99 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
R1 = 8 Ω R3 = 12 Ω R5 = 10 Ω + − V1 5 V R2 5 Ω A R4 15 Ω B R6 6 Ω
먼 쪽 끝부터 저항 합치기 전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 10 + 6 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 7.742 Ω
R3 + 7.742 = 19.74 Ω
R2 ∥ 19.74 = 3.99 Ω
Req = R1 + 3.99 = 8 + 3.99 = 11.99 Ω
9. 테브난·노턴
답: Vth = 5.625 V
테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth 와 저항 Rth 의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리 는 같은 회로를 전류원 IN = Vth /Rth 와 Rth 의 병렬 회로로 나타냅니다.
R1 = 12 Ω R3 = 15 Ω 단락 R2 20 Ω A a b Rth 모든 전원을 끄고 Rth 구하기 전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.
R1 ∥ R2 = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2 ) + R3 = 7.5 + 15 = 22.5 Ω
R1 = 12 Ω R3 = 15 Ω + − V1 9 V R2 20 Ω A a b + − Vth
개방 전압 Vth 구하기 a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.
Vth = V1 ·R2 /(R1 +R2 ) = 9·20/(12+20) = 5.625 V
10. 테브난·노턴
답: Vth = 218.6 V
테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth 와 저항 Rth 의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리 는 같은 회로를 전류원 IN = Vth /Rth 와 Rth 의 병렬 회로로 나타냅니다.
R1 = 12 Ω R3 = 25 Ω 단락 R2 30 Ω A 개방 B a b Rth 모든 전원을 끄고 Rth 구하기 전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.
R1 ∥ R2 = 12·30/(12+30) = 8.571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2 ) + R3 = 8.571 + 25 = 33.57 Ω
R1 = 12 Ω R3 = 25 Ω + − V1 24 V R2 30 Ω A Is 6 A B a b + − Vth 개방 전압 Vth 구하기 a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.
VA = V1 ·R2 /(R1 +R2 ) + Is ·(R1 ∥R2 ) = 17.14 + 6·8.571 = 68.57 V
Vth = VB = VA + Is ·R3 = 68.57 + 6·25 = 218.6 V