측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
배설량
Vab = Va − Vb
균형
R1/R2 = R3/R4
슬라이드 와이어 브리지
R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
게이지율
ΔR/R = GF·ε
브리지 출력
1/4 브리지 Vs·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs·GF·ε
미소 변화, 한 변
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
응력
σ = E·ε

방법

  1. 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
  2. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
  3. 불평형 브리지는 분압기에서 Va와 Vb를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
  4. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건
fs > 2·fmax, fN = fs/2
에일리어스 주파수
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
스텝 크기
1 LSB = VFSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림)
±½ LSB
절사형 ADC 코드
D = ⌊Vin/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수
2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률
채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기
baud = fclk/(16·D)

방법

  1. 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
  2. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs|에 나타납니다.
  3. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
  4. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
비반전 증폭기
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
가산 증폭기
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
이상적인 연산 증폭기
V+ = V−, Iin = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통
+−9 VR1​ = 100 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 20 ΩR4​ = 20 ΩabGRg​ = 20 Ω

저항 20 Ω의 검류계가 그림의 브리지(Vs = 9 V)의 a와 b 사이에 연결되어 있습니다. a에서 b로 흐르는 검류계 전류 Ig을(를) µA 단위로 구하시오.

Vs = 9 VR1 = 100 ΩR2 = 20 ΩR3 = 20 ΩR4 = 20 ΩRg = 20 Ω
Ig = µA
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움
+−5 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vo​ = ?

네 변이 120 Ω인 브리지에 5 V를 여기하며 구성은 다음과 같습니다: 인접한 변에 능동 게이지 둘, 하나는 인장·하나는 압축(1/2 브리지). 게이지율은 2.12이고 변형률은 1500 µε입니다. 브리지 출력 Vo을(를) mV 단위로 구하시오.

Vs = 5 VGF = 2.12ε = 1500 µε
Vo = mV
3.데이터 수집과 표본화보통
Vin​N = 6VFSR​2ᴺ − 101 LSB

풀스케일 사인파에 대한 6비트 ADC의 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR을(를) 구하시오.

N = 6
SQNR = dB
4.데이터 수집과 표본화어려움
Vin​N = ?VFSR​2ᴺ − 101 LSB

오디오 측정에 풀스케일 사인파에 대해 이상적인 신호 대 양자화 잡음비가 최소 90 dB 필요합니다. 필요한 최소 ADC 비트 수 N을(를) 구하시오.

SQNR ≥ 90 dB
N =
5.연산 증폭기 회로보통
−+Vout​R2​ = 22 kΩV1​ = 2.7 VR1​ = 4.7 kΩV2​ = 2 VR3​ = 4.7 kΩR4​ = 22 kΩ

차동 증폭기는 ±15 V 전원의 이상적인 연산 증폭기를 쓰며, R3 = R1, R4 = R2이다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

V1 = 2.7 VV2 = 2 VR1 = R3 = 4.7 kΩR2 = R4 = 22 kΩ
Vout = V
6.연산 증폭기 회로어려움
−+Vout​C = 0.22 µFVin​ = −1.4 VR = 22 kΩ

적분기는 ±15 V 전원의 이상적인 연산 증폭기를 쓰며, 출력은 ±12 V에서 포화된다. t = 0에 일정한 입력 Vin = −1.4 V를 가할 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 20 ms에서의 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

Vin = −1.4 VR = 22 kΩC = 0.22 µFVsat = ±12 Vt = 20 ms
Vout = V
7.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​10 ΩB

전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.

V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
8.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 30 ΩIR1​R3​ = 20 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAR4​5 ΩBR6​20 Ω

전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.

V1 = 30 VR1 = 30 ΩR2 = 30 ΩR3 = 20 ΩR4 = 5 ΩR5 = 20 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
9.테브난·노턴보통
R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩARL​8 ΩIL​B

a–b 사이에 부하 RL = 8 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 10 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩRL = 8 Ω
IL = A
10.테브난·노턴어려움
R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAIs​2 ABab

노턴 전류 IN을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.

V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 Ω
IN = A

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: Ig = −64286 µA

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1–R2는 Va = Vs·R2/(R1 + R2)를, 오른쪽 분압기 R3–R4는 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb입니다. 브리지는 R1/R2 = R3/R4, 즉 R1·R4 = R2·R3일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1∥R2 + R3∥R4인 테브난 전원입니다.

테브난 전압

Vth = 9·(20/120 − 20/40) = −3 V

테브난 저항

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 26.67 Ω

검류계 전류

Ig = −3/(26.67 + 20) = −64286 µA

답

Ig = −64286 µA
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: Vo = 7.95 mV

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

상대 저항 변화

ΔR/R = 2.12·1500·10⁻⁶ = 0.00318

브리지 출력

Vo = Vs·GF·ε/2 = 5·0.00318/2 = 7.95 mV

답

Vo = 7.95 mV
3.데이터 수집과 표본화

답: SQNR = 37.88 dB

ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.

이상적인 SQNR

SQNR = 6.02·6 + 1.76 = 37.88 dB

답

SQNR = 37.88 dB
4.데이터 수집과 표본화

답: N = 15

ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.

N에 대해 풀기

N ≥ (90 − 1.76)/6.02 = 14.66

올림하기

N = 15
검산: 6.02·15 + 1.76 = 92.06 dB ≥ 90 dB

답

N = 15
5.연산 증폭기 회로

답: Vout = −3.277 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 단자의 전압

R₃와 R₄에는 같은 전류가 흐르므로 전압 분배기를 이루며, 귀환이 V₋ = V₊가 되게 합니다.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 2·22/(4.7 + 22) = 1.648 V
V₋ = V₊

반전 입력에서의 KCL

(2.7 − 1.648)/4.7 = (1.648 − Vout)/22
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (22/4.7)·(2 − 2.7) = −3.277 V

답

Vout = −3.277 V
6.연산 증폭기 회로

답: Vout = 5.785 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 전류와 증가율

kΩ × µF는 밀리초입니다.

RC = 22 kΩ · 0.22 µF = 4.84 ms
증가율 = −Vin/(RC) = −(−1.4)/4.84 = 0.2893 V/ms

주어진 시각의 출력

이상값이 ±Vsat 안에 있으므로 적분기는 아직 잘리지 않았습니다.

Vout = −Vin·t/(RC) = −(−1.4)·20/4.84 = 5.785 V

답

Vout = 5.785 V
7.저항의 직렬·병렬

답: IR1 = 1.28 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​10 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 10 + 10 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω
Req = R1 + 5.714 = 6 + 5.714 = 11.71 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 15/11.71 = 1.28 A

답

IR1 = 1.28 A
8.저항의 직렬·병렬

답: IR1 = 0.6901 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 30 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAR4​5 ΩBR6​20 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 20 + 20 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 4.444 Ω
R3 + 4.444 = 24.44 Ω
R2 ∥ 24.44 = 13.47 Ω
Req = R1 + 13.47 = 30 + 13.47 = 43.47 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 30/43.47 = 0.6901 A

답

IR1 = 0.6901 A
9.테브난·노턴

답: IL = 0.4545 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω단락R2​10 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 6·10/(6+10) = 3.75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.75 + 2 = 5.75 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·10/(6+10) = 6.25 V
Rth​ = 5.75 Ω+−Vth​6.25 VRL​8 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 6.25/(5.75 + 8) = 0.4545 A
10.테브난·노턴

답: IN = 2.476 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω단락R2​15 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 3·15/(3+15) = 2.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.5 + 8 = 10.5 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5 + 2·2.5 = 10 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 10 + 2·8 = 26 V
IN​2.476 ARth​10.5 Ωab

노턴 등가 회로

노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.

IN = Vth/Rth = 26/10.5 = 2.476 A

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