1 공식과 풀이 방법휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지
분압기 전압 Va = Vs R2 /(R1 + R2 ), Vb = Vs R4 /(R3 + R4 )
배설량 Vab = Va − Vb
균형 R1 /R2 = R3 /R4
슬라이드 와이어 브리지 R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항 Rth = R1 ∥R2 + R3 ∥R4
게이지율 ΔR/R = GF·ε
브리지 출력 1/4 브리지 Vs ·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs ·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs ·GF·ε
미소 변화, 한 변 Vab ≈ Vs ·ΔR/(4R)
응력 σ = E·ε 방법 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요. 불평형 브리지는 분압기에서 Va 와 Vb 를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs ·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요. 데이터 수집과 표본화
나이퀴스트 조건 fs > 2·fmax , fN = fs /2
에일리어스 주파수 fa = |f − k·fs |, k = round(f/fs )
스텝 크기 1 LSB = VFSR /2ᴺ
양자화 오차(반올림) ±½ LSB
절사형 ADC 코드 D = ⌊Vin /LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수 2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률 채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC fs = 1/(n·(tc + tset ))
UART Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기 baud = fclk /(16·D) 방법 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs /2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs 의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs |에 나타납니다. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR /2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트. 연산 증폭기 회로
반전 증폭기 Vout = −(Rf /Rin )·Vin
비반전 증폭기 Vout = (1 + Rf /R1 )·Vin
가산 증폭기 Vout = −Rf (V1 /R1 + V2 /R2 )
이상적인 연산 증폭기 V+ = V− , Iin = 0 저항의 직렬·병렬
저항의 직렬 연결 Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬 Req = R1 R2 / (R1 + R2 )
옴의 법칙 V = I·R
전력 P = V·I = I²R = V²/R 방법 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요. 단계마다 회로를 다시 그리세요. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요. 테브난·노턴
테브난 전압 Vth = Vopen circuit
테브난 저항 Rth : 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류 IN = Vth /Rth
부하 전류 IL = Vth /(Rth + RL )
최대 전력 전달 RL = Rth , Pmax = Vth ²/(4Rth ) 방법 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth 입니다. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth 입니다. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth 와 Rth 의 직렬. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth /Rth , RN = Rth 를 병렬로. 2 연습 문제1. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지 보통
+ − 10 V 1000 Ω 1000 Ω + ΔR 1000 Ω 1000 Ω a b + − Vab = ?
브리지의 네 변이 모두 1000 Ω이고 Vs = 10 V입니다. 센서 R₂가 ΔR = 250 Ω만큼 증가합니다. 정확한 출력 Vab 을(를) mV 단위로 구하시오.
Vs = 10 V R = 1000 Ω ΔR = 250 Ω
Vab =
2. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지 어려움
+ − 2.5 V 350 Ω 350 Ω + ΔR 350 Ω 350 Ω a b + − Vo = ?
네 변이 350 Ω인 브리지에 2.5 V를 여기하며 구성은 다음과 같습니다: 능동 게이지 하나(1/4 브리지). 게이지율은 2.1이고 변형률은 1500 µε입니다. 브리지 출력 Vo 을(를) mV 단위로 구하시오.
Vs = 2.5 V GF = 2.1 ε = 1500 µε
Vo =
3. 데이터 수집과 표본화 보통
Vin N = ? 10 V 2ᴺ − 1 0 ≤ 1 mV 입력 범위가 0~10 V인 ADC가 1 mV 이하의 스텝을 구분해야 합니다. 필요한 최소 비트 수 N 을(를) 구하시오.
VFSR = 10 V 분해능 = 1 mV
N =
4. 데이터 수집과 표본화 어려움
600 Hz 구형파를 안티에일리어싱 필터 없이 5 kHz로 표본화합니다. 구형파에는 홀수 고조파 3f₁, 5f₁, 7f₁, …가 들어 있습니다. 고조파 5f₁은 표본화된 데이터의 어느 주파수 fa 에 나타납니까? Hz 단위로 답하시오.
f₁ = 600 Hz fs = 5 kHz 고조파: 5f₁
fa =
5. 연산 증폭기 회로 보통
− + Vout Rf = 100 kΩ R1 = 22 kΩ Vin = 3.5 V Ra = 47 kΩ Rb = 22 kΩ 연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 출력 전압 Vout 을(를) 구하시오.
Vin = 3.5 V Ra = 47 kΩ Rb = 22 kΩ R1 = 22 kΩ Rf = 100 kΩ
Vout =
6. 연산 증폭기 회로 어려움
− + Vout Rf = 22 kΩ V1 = 0.9 V R1 = 10 kΩ V2 = 0.4 V R2 = 4.7 kΩ 가산 증폭기는 ±15 V 전원의 이상 연산 증폭기를 사용한다. 출력 전압 Vout 을(를) 구하시오.
V1 = 0.9 V V2 = 0.4 V R1 = 10 kΩ R2 = 4.7 kΩ Rf = 22 kΩ
Vout =
7. 저항의 직렬·병렬 보통
R1 = 12 Ω R3 = 8 Ω + − V1 12 V R2 8 Ω IR2 A R4 15 Ω B R2 에 흐르는 전류 IR2 을(를) 구하시오.
V1 = 12 V R1 = 12 Ω R2 = 8 Ω R3 = 8 Ω R4 = 15 Ω
IR2 =
8. 저항의 직렬·병렬 어려움
R1 = 12 Ω R3 = 30 Ω R5 = 25 Ω + − V1 30 V R2 4 Ω A R4 10 Ω B R6 12 Ω
전원 V1 이(가) 보는 합성 저항 Req 을(를) 구하시오.
V1 = 30 V R1 = 12 Ω R2 = 4 Ω R3 = 30 Ω R4 = 10 Ω R5 = 25 Ω R6 = 12 Ω
Req =
9. 테브난·노턴 보통
R1 = 4 Ω R3 = 10 Ω + − V1 15 V R2 4 Ω A a b
단자 a–b에서 본 테브난 저항 Rth 을(를) 구하시오.
V1 = 15 V R1 = 4 Ω R2 = 4 Ω R3 = 10 Ω
Rth =
10. 테브난·노턴 어려움
R1 = 4 Ω R3 = 5 Ω + − V1 36 V R2 4 Ω A Is 5 A B RL 25 Ω IL a–b 사이에 부하 RL = 25 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 PL 을(를) 구하시오.
V1 = 36 V Is = 5 A R1 = 4 Ω R2 = 4 Ω R3 = 5 Ω RL = 25 Ω
PL =
3 용액1. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지
답: Vab = 555.6 mV
휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs 를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1 –R2 는 Va = Vs ·R2 /(R1 + R2 )를, 오른쪽 분압기 R3 –R4 는 Vb = Vs ·R4 /(R3 + R4 )를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb 입니다. 브리지는 R1 /R2 = R3 /R4 , 즉 R1 ·R4 = R2 ·R3 일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1 ∥R2 + R3 ∥R4 인 테브난 전원입니다.
노드 전압 Va = 10·1250/2250 = 5.556 V
Vb = 5 V
선형 추정값 Vs ·ΔR/(4R) = 625 mV는 12.5 % 높게 나옵니다. 1/4 브리지는 완전한 선형이 아닙니다.
2. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지
답: Vo = 1.969 mV
스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs ·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs ·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs ·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.
상대 저항 변화 ΔR/R = 2.1·1500·10⁻⁶ = 0.00315
브리지 출력 Vo ≈ Vs ·GF·ε/4 = 2.5·0.00315/4 = 1.969 mV
3. 데이터 수집과 표본화
답: N = 14
ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR 을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR /2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin /LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.
비트 log₂(10000) = 13.29
213 = 8192 < 10000 ≤ 214 = 16384
N = 14
4. 데이터 수집과 표본화
답: fa = 2000 Hz
표본화: ADC는 신호를 초당 fs 번 측정합니다. 나이퀴스트-섀넌 정리에 따르면 주파수 f는 f < fs /2, 즉 나이퀴스트(접힘) 주파수보다 낮을 때만 올바르게 포착되므로, 표본화율은 신호 최고 주파수의 두 배를 넘어야 합니다. 더 높은 주파수는 사라지지 않고 fa = |f − k·fs |의 에일리어스 로 나타나며, k는 결과가 0과 fs /2 사이가 되게 하는 정수입니다. 표본만으로는 둘을 구별할 수 없으므로 ADC 앞에서 아날로그 앤티에일리어싱 필터가 fs /2보다 높은 성분을 모두 제거해야 합니다.
에일리어스 주파수 fa = |3000 − 1·5000| = 2000 Hz
에일리어스는 신호 대역 안에 놓이므로 디지털 필터로는 제거할 수 없습니다. ADC 앞의 아날로그 필터만 도움이 됩니다.
5. 연산 증폭기 회로
답: Vout = 6.188 V
이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.
+ 입력의 전압 V₊ = Vin ·Rb /(Ra + Rb ) = 3.5·22/(47 + 22) = 1.116 V
비반전 이득 V₋ = V₊이고, R₁을 흐르는 전류는 Rf 도 흐릅니다.
Vout = V₊·(1 + Rf /R1 ) = 1.116·(1 + 100/22) = 6.188 V
6. 연산 증폭기 회로
답: Vout = −3.852 V
이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.
입력 전류 V₋ = 0이므로 각 입력 저항에는 입력 전압 전체가 걸립니다.
I1 = V1 /R1 = 0.9/10 = 0.09 mA
I2 = V2 /R2 = 0.4/4.7 = 0.08511 mA
If = I1 + I2 = 0.1751 mA
출력 전압 Vout = −Rf ·If = −22·0.1751 = −3.852 V
7. 저항의 직렬·병렬
답: IR2 = 0.4964 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
R1 = 12 Ω R3 = 8 Ω + − V1 12 V R2 8 Ω A R4 15 Ω B
먼 쪽 끝부터 저항 합치기 전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 8 + 15 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 8·23/(8+23) = 5.935 Ω
Req = R1 + 5.935 = 12 + 5.935 = 17.94 Ω
전원 전류 전원은 Req 만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1 /Req = 12/17.94 = 0.6691 A
R₂에 흐르는 전류 R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.
VA = V1 − IR1 ·R1 = 12 − 0.6691·12 = 3.971 V
IR2 = VA /R2 = 3.971/8 = 0.4964 A
8. 저항의 직렬·병렬
답: Req = 15.62 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
R1 = 12 Ω R3 = 30 Ω R5 = 25 Ω + − V1 30 V R2 4 Ω A R4 10 Ω B R6 12 Ω
먼 쪽 끝부터 저항 합치기 전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 25 + 12 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 7.872 Ω
R3 + 7.872 = 37.87 Ω
R2 ∥ 37.87 = 3.618 Ω
Req = R1 + 3.618 = 12 + 3.618 = 15.62 Ω
9. 테브난·노턴
답: Rth = 12 Ω
테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth 와 저항 Rth 의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리 는 같은 회로를 전류원 IN = Vth /Rth 와 Rth 의 병렬 회로로 나타냅니다.
R1 = 4 Ω R3 = 10 Ω 단락 R2 4 Ω A a b Rth 모든 전원을 끄고 Rth 구하기 전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.
R1 ∥ R2 = 4·4/(4+4) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2 ) + R3 = 2 + 10 = 12 Ω
10. 테브난·노턴
답: PL = 68.58 W
테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth 와 저항 Rth 의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리 는 같은 회로를 전류원 IN = Vth /Rth 와 Rth 의 병렬 회로로 나타냅니다.
R1 = 4 Ω R3 = 5 Ω 단락 R2 4 Ω A 개방 B a b Rth 모든 전원을 끄고 Rth 구하기 전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.
R1 ∥ R2 = 4·4/(4+4) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2 ) + R3 = 2 + 5 = 7 Ω
R1 = 4 Ω R3 = 5 Ω + − V1 36 V R2 4 Ω A Is 5 A B a b + − Vth 개방 전압 Vth 구하기 a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.
VA = V1 ·R2 /(R1 +R2 ) + Is ·(R1 ∥R2 ) = 18 + 5·2 = 28 V
Vth = VB = VA + Is ·R3 = 28 + 5·5 = 53 V
Rth = 7 Ω + − Vth 53 V RL 25 Ω IL 부하를 테브난 등가 회로에 연결하기 테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.
IL = Vth /(Rth + RL ) = 53/(7 + 25) = 1.656 A
PL = IL ²·RL = 1.656²·25 = 68.58 W