측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
배설량
Vab = Va − Vb
균형
R1/R2 = R3/R4
슬라이드 와이어 브리지
R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
게이지율
ΔR/R = GF·ε
브리지 출력
1/4 브리지 Vs·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs·GF·ε
미소 변화, 한 변
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
응력
σ = E·ε

방법

  1. 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
  2. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
  3. 불평형 브리지는 분압기에서 Va와 Vb를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
  4. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건
fs > 2·fmax, fN = fs/2
에일리어스 주파수
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
스텝 크기
1 LSB = VFSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림)
±½ LSB
절사형 ADC 코드
D = ⌊Vin/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수
2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률
채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기
baud = fclk/(16·D)

방법

  1. 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
  2. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs|에 나타납니다.
  3. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
  4. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
비반전 증폭기
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
가산 증폭기
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
이상적인 연산 증폭기
V+ = V−, Iin = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통
+−6 V100 Ω100 Ω + ΔR100 Ω100 Ωab+−Vab​ = ?

브리지의 네 변이 모두 100 Ω이고 Vs = 6 V입니다. 센서 R₂가 ΔR = 5 Ω만큼 증가합니다. 정확한 출력 Vab을(를) mV 단위로 구하시오.

Vs = 6 VR = 100 ΩΔR = 5 Ω
Vab = mV
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움
+−10 V1000 Ω − ΔR1000 Ω + ΔR1000 Ω + ΔR1000 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

로드셀(스트레인 게이지의 풀 브리지)의 정격 출력은 정격 하중 50 kg에서 1 mV/V입니다. 여기 전압은 10 V입니다. 하중 25 kg에서의 출력 Vo을(를) 구하시오.

1 mV/VFrated = 50 kgVs = 10 VF = 25 kg
Vo = mV
3.데이터 수집과 표본화보통
tTs​ = 1/fs​f = 5.6 kHzfs​ = 4 kHz

5.6 kHz 사인파를 안티에일리어싱 필터 없이 4 kHz로 표본화합니다. 표본에서 어느 주파수 fa에 나타납니까? Hz 단위로 답하시오.

f = 5.6 kHzfs = 4 kHz
fa = Hz
4.데이터 수집과 표본화어려움
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​2 MHz / (16·D)

2 MHz 클록의 마이크로컨트롤러가 UART 보율을 fclk/(16·D)로 설정하며, D는 가장 가까운 정수로 반올림한 값입니다. 목표는 4800 baud입니다. 실제 보율의 백분율 오차(너무 빠르면 양수)를 구하시오.

fclk = 2 MHz목표값 = 4800 Bd
e = %
5.연산 증폭기 회로보통
−+Vout​Rf​ = 22 kΩR1​ = 4.7 kΩVin​ = −1.8 V

연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

Vin = −1.8 VR1 = 4.7 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
6.연산 증폭기 회로어려움
−+Vout​Rf​ = 47 kΩV1​ = 1.6 VR1​ = 100 kΩV2​ = 0.2 VR2​ = 22 kΩ

가산 증폭기는 ±15 V 전원의 이상 연산 증폭기를 사용한다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

V1 = 1.6 VV2 = 0.2 VR1 = 100 kΩR2 = 22 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
7.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​5 ΩB

전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.

V1 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
8.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 25 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩIR2​AR4​4 ΩBR6​5 Ω

R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.

V1 = 15 VR1 = 25 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩR4 = 4 ΩR5 = 2 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
9.테브난·노턴보통
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩARL​4 ΩIL​B

a–b 사이에 부하 RL = 4 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 ΩRL = 4 Ω
IL = A
10.테브난·노턴어려움
R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩAIs​1 ABab

단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth을(를) 구하시오.

V1 = 18 VIs = 1 AR1 = 20 ΩR2 = 30 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: Vab = 73.17 mV

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1–R2는 Va = Vs·R2/(R1 + R2)를, 오른쪽 분압기 R3–R4는 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb입니다. 브리지는 R1/R2 = R3/R4, 즉 R1·R4 = R2·R3일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1∥R2 + R3∥R4인 테브난 전원입니다.

노드 전압

Va = 6·105/205 = 3.073 V
Vb = 3 V

배설량

Vab = 73.17 mV

답

Vab = 73.17 mV

선형 추정값 Vs·ΔR/(4R) = 75 mV는 2.5 % 높게 나옵니다. 1/4 브리지는 완전한 선형이 아닙니다.

2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: Vo = 5 mV

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

풀 스케일 출력

1·10 = 10 mV

이 하중에서의 출력

Vo = 10·25/50 = 5 mV

답

Vo = 5 mV
3.데이터 수집과 표본화

답: fa = 1600 Hz

표본화: ADC는 신호를 초당 fs번 측정합니다. 나이퀴스트-섀넌 정리에 따르면 주파수 f는 f < fs/2, 즉 나이퀴스트(접힘) 주파수보다 낮을 때만 올바르게 포착되므로, 표본화율은 신호 최고 주파수의 두 배를 넘어야 합니다. 더 높은 주파수는 사라지지 않고 fa = |f − k·fs|의 에일리어스로 나타나며, k는 결과가 0과 fs/2 사이가 되게 하는 정수입니다. 표본만으로는 둘을 구별할 수 없으므로 ADC 앞에서 아날로그 앤티에일리어싱 필터가 fs/2보다 높은 성분을 모두 제거해야 합니다.

나이퀴스트 주파수

fs/2 = 2 kHz < f = 5.6 kHz

표본화율의 가장 가까운 배수

k = round(5600/4000) = 1

에일리어스 주파수

fa = |5600 − 1·4000| = 1600 Hz

답

fa = 1600 Hz

그림의 점선 곡선이 에일리어스입니다. 정확히 같은 표본들을 지납니다.

4.데이터 수집과 표본화

답: e = 0.1603 %

UART: 비동기 직렬 링크는 각 바이트를 프레임으로 보냅니다. 시작 비트 1개(low), 데이터 비트, 선택적 패리티 비트, 정지 비트 1~2개(high)입니다. 보율은 초당 비트 수이므로 한 비트는 Tb = 1/baud 동안 지속되고, n비트 프레임은 n/baud 동안 지속됩니다. 흔히 쓰는 8N1 형식은 바이트당 10비트입니다. 보율 발생기는 클록을 나눕니다: baud = fclk/(16·D)이며 D는 정수이므로 실제 보율은 목표값과 조금 다릅니다. 오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.

분주비

D = 2·10⁶/(16·4800) = 26.04 → 26

실제 보율

2·10⁶/(16·26) = 4808 Bd

오차

(4808 − 4800)/4800·100 = 0.1603 %

답

e = 0.1603 %

오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.

5.연산 증폭기 회로

답: Vout = −10.23 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

반전 입력이 입력을 따라감

V₋ = V₊ = −1.8 V
I = V₋/R1 = −1.8/4.7 = −0.383 mA

출력 전압

R₁의 전류는 Rf에도 흐릅니다.

Vout = V₋ + I·Rf = −1.8 + (−0.383)·22 = −10.23 V

답

Vout = −10.23 V
6.연산 증폭기 회로

답: Vout = −1.179 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 전류

V₋ = 0이므로 각 입력 저항에는 입력 전압 전체가 걸립니다.

I1 = V1/R1 = 1.6/100 = 0.016 mA
I2 = V2/R2 = 0.2/22 = 0.009091 mA
If = I1 + I2 = 0.02509 mA

출력 전압

Vout = −Rf·If = −47·0.02509 = −1.179 V

답

Vout = −1.179 V
7.저항의 직렬·병렬

답: IR1 = 1.895 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 6 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​5 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 5 + 5 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 20·10/(20+10) = 6.667 Ω
Req = R1 + 6.667 = 6 + 6.667 = 12.67 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 24/12.67 = 1.895 A

답

IR1 = 1.895 A
8.저항의 직렬·병렬

답: IR2 = 0.3631 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 25 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAR4​4 ΩBR6​5 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 2 + 5 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 2.545 Ω
R3 + 2.545 = 14.55 Ω
R2 ∥ 14.55 = 4.248 Ω
Req = R1 + 4.248 = 25 + 4.248 = 29.25 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 15/29.25 = 0.5129 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0.5129·25 = 2.179 V
IR2 = VA/R2 = 2.179/6 = 0.3631 A

답

IR2 = 0.3631 A
9.테브난·노턴

답: IL = 0.5085 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω단락R2​5 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 4·5/(4+5) = 2.222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.222 + 20 = 22.22 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·5/(4+5) = 13.33 V
Rth​ = 22.22 Ω+−Vth​13.33 VRL​4 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 13.33/(22.22 + 4) = 0.5085 A
10.테브난·노턴

답: Vth = 26.8 V

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω단락R2​30 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 20·30/(20+30) = 12 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 12 + 4 = 16 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10.8 + 1·12 = 22.8 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 22.8 + 1·4 = 26.8 V

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