측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
배설량
Vab = Va − Vb
균형
R1/R2 = R3/R4
슬라이드 와이어 브리지
R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
게이지율
ΔR/R = GF·ε
브리지 출력
1/4 브리지 Vs·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs·GF·ε
미소 변화, 한 변
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
응력
σ = E·ε

방법

  1. 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
  2. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
  3. 불평형 브리지는 분압기에서 Va와 Vb를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
  4. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건
fs > 2·fmax, fN = fs/2
에일리어스 주파수
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
스텝 크기
1 LSB = VFSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림)
±½ LSB
절사형 ADC 코드
D = ⌊Vin/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수
2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률
채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기
baud = fclk/(16·D)

방법

  1. 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
  2. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs|에 나타납니다.
  3. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
  4. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
비반전 증폭기
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
가산 증폭기
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
이상적인 연산 증폭기
V+ = V−, Iin = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통
+−5 V330 Ω330 Ω + ΔR330 Ω330 Ωab+−Vab​ = ?

브리지의 네 변이 모두 330 Ω이고 Vs = 5 V입니다. 센서 R₂가 ΔR = 49.5 Ω만큼 증가합니다. 정확한 출력 Vab을(를) mV 단위로 구하시오.

Vs = 5 VR = 330 ΩΔR = 49.5 Ω
Vab = mV
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움
+−10 V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−2.1 mV

E = 200 GPa인 부재에 붙인 스트레인 게이지(GF = 2.1)가 10 V로 여기되는 1/4 브리지를 이룹니다. 출력은 2.1 mV로 읽힙니다. 축 방향 응력 σ을(를) MPa 단위로 구하시오.

Vs = 10 VGF = 2.1Vo = 2.1 mVE = 200 GPa
σ = MPa
3.데이터 수집과 표본화보통
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​10·Tb​4800 Bd, 8N1

UART가 4800 baud로 8N1 형식의 바이트를 보냅니다: 데이터 비트 8개, 패리티 없음, 정지 비트 1개, 그리고 시작 비트. 초당 전송할 수 있는 데이터 바이트의 최대 개수를 구하시오.

baud = 4800 Bd8N1
RB = B/s
4.데이터 수집과 표본화어려움
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​12 MHz / (16·D)

12 MHz 클록의 마이크로컨트롤러가 UART 보율을 fclk/(16·D)로 설정하며, D는 가장 가까운 정수로 반올림한 값입니다. 목표는 2400 baud입니다. 실제 보율의 백분율 오차(너무 빠르면 양수)를 구하시오.

fclk = 12 MHz목표값 = 2400 Bd
e = %
5.연산 증폭기 회로보통
−+Vout​Rf​ = 4.7 kΩR1​ = 2 kΩVin​ = −3.5 VRa​ = 22 kΩRb​ = 47 kΩ

연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

Vin = −3.5 VRa = 22 kΩRb = 47 kΩR1 = 2 kΩRf = 4.7 kΩ
Vout = V
6.연산 증폭기 회로어려움
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = −0.7 VR1​ = 100 kΩV2​ = 2 VR2​ = 10 kΩ

가산 증폭기는 ±15 V 전원의 이상 연산 증폭기를 사용한다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

V1 = −0.7 VV2 = 2 VR1 = 100 kΩR2 = 10 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
7.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 10 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​15 ΩB

전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 Ω
Req = Ω
8.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAR4​6 ΩBR6​20 Ω

전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.

V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 ΩR5 = 25 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
9.테브난·노턴보통
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAab

단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth을(를) 구하시오.

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 Ω
Vth = V
10.테브난·노턴어려움
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​2 ABab

단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth을(를) 구하시오.

V1 = 9 VIs = 2 AR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: Vab = 174.4 mV

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1–R2는 Va = Vs·R2/(R1 + R2)를, 오른쪽 분압기 R3–R4는 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb입니다. 브리지는 R1/R2 = R3/R4, 즉 R1·R4 = R2·R3일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1∥R2 + R3∥R4인 테브난 전원입니다.

노드 전압

Va = 5·379.5/709.5 = 2.674 V
Vb = 2.5 V

배설량

Vab = 174.4 mV

답

Vab = 174.4 mV

선형 추정값 Vs·ΔR/(4R) = 187.5 mV는 7.5 % 높게 나옵니다. 1/4 브리지는 완전한 선형이 아닙니다.

2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: σ = 80 MPa

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

변형률

ε = 4·0.0021/(10·2.1) = 0.0004

응력

σ = 200·10³ MPa·0.0004 = 80 MPa

답

σ = 80 MPa
3.데이터 수집과 표본화

답: RB = 480 B/s

UART: 비동기 직렬 링크는 각 바이트를 프레임으로 보냅니다. 시작 비트 1개(low), 데이터 비트, 선택적 패리티 비트, 정지 비트 1~2개(high)입니다. 보율은 초당 비트 수이므로 한 비트는 Tb = 1/baud 동안 지속되고, n비트 프레임은 n/baud 동안 지속됩니다. 흔히 쓰는 8N1 형식은 바이트당 10비트입니다. 보율 발생기는 클록을 나눕니다: baud = fclk/(16·D)이며 D는 정수이므로 실제 보율은 목표값과 조금 다릅니다. 오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.

프레임당 비트 수

1 + 8 + 0 + 1 = 10

바이트 전송률

4800/10 = 480 B/s

답

RB = 480 B/s
4.데이터 수집과 표본화

답: e = −0.1597 %

UART: 비동기 직렬 링크는 각 바이트를 프레임으로 보냅니다. 시작 비트 1개(low), 데이터 비트, 선택적 패리티 비트, 정지 비트 1~2개(high)입니다. 보율은 초당 비트 수이므로 한 비트는 Tb = 1/baud 동안 지속되고, n비트 프레임은 n/baud 동안 지속됩니다. 흔히 쓰는 8N1 형식은 바이트당 10비트입니다. 보율 발생기는 클록을 나눕니다: baud = fclk/(16·D)이며 D는 정수이므로 실제 보율은 목표값과 조금 다릅니다. 오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.

분주비

D = 12·10⁶/(16·2400) = 312.5 → 313

실제 보율

12·10⁶/(16·313) = 2396 Bd

오차

(2396 − 2400)/2400·100 = −0.1597 %

답

e = −0.1597 %

오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.

5.연산 증폭기 회로

답: Vout = −7.987 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

+ 입력의 전압

V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = −3.5·47/(22 + 47) = −2.384 V

비반전 이득

V₋ = V₊이고, R₁을 흐르는 전류는 Rf도 흐릅니다.

Vout = V₊·(1 + Rf/R1) = −2.384·(1 + 4.7/2) = −7.987 V

답

Vout = −7.987 V
6.연산 증폭기 회로

답: Vout = −1.93 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 전류

V₋ = 0이므로 각 입력 저항에는 입력 전압 전체가 걸립니다.

I1 = V1/R1 = −0.7/100 = −0.007 mA
I2 = V2/R2 = 2/10 = 0.2 mA
If = I1 + I2 = 0.193 mA

출력 전압

Vout = −Rf·If = −10·0.193 = −1.93 V

답

Vout = −1.93 V
7.저항의 직렬·병렬

답: Req = 13.86 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 10 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​15 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 2 + 15 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 5·17/(5+17) = 3.864 Ω
Req = R1 + 3.864 = 10 + 3.864 = 13.86 Ω

답

Req = 13.86 Ω
8.저항의 직렬·병렬

답: Req = 12.54 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAR4​6 ΩBR6​20 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 25 + 20 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 5.294 Ω
R3 + 5.294 = 7.294 Ω
R2 ∥ 7.294 = 4.537 Ω
Req = R1 + 4.537 = 8 + 4.537 = 12.54 Ω

답

Req = 12.54 Ω
9.테브난·노턴

답: Vth = 6 V

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω단락R2​5 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 15·5/(15+5) = 3.75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.75 + 8 = 11.75 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·5/(15+5) = 6 V
10.테브난·노턴

답: Vth = 38.57 V

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω단락R2​4 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 3·4/(3+4) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 15 = 16.71 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5.143 + 2·1.714 = 8.571 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 8.571 + 2·15 = 38.57 V

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