1 공식과 풀이 방법휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지
분압기 전압 Va = Vs R2 /(R1 + R2 ), Vb = Vs R4 /(R3 + R4 )
배설량 Vab = Va − Vb
균형 R1 /R2 = R3 /R4
슬라이드 와이어 브리지 R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항 Rth = R1 ∥R2 + R3 ∥R4
게이지율 ΔR/R = GF·ε
브리지 출력 1/4 브리지 Vs ·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs ·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs ·GF·ε
미소 변화, 한 변 Vab ≈ Vs ·ΔR/(4R)
응력 σ = E·ε 방법 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요. 불평형 브리지는 분압기에서 Va 와 Vb 를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs ·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요. 데이터 수집과 표본화
나이퀴스트 조건 fs > 2·fmax , fN = fs /2
에일리어스 주파수 fa = |f − k·fs |, k = round(f/fs )
스텝 크기 1 LSB = VFSR /2ᴺ
양자화 오차(반올림) ±½ LSB
절사형 ADC 코드 D = ⌊Vin /LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수 2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률 채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC fs = 1/(n·(tc + tset ))
UART Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기 baud = fclk /(16·D) 방법 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs /2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs 의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs |에 나타납니다. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR /2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트. 연산 증폭기 회로
반전 증폭기 Vout = −(Rf /Rin )·Vin
비반전 증폭기 Vout = (1 + Rf /R1 )·Vin
가산 증폭기 Vout = −Rf (V1 /R1 + V2 /R2 )
이상적인 연산 증폭기 V+ = V− , Iin = 0 저항의 직렬·병렬
저항의 직렬 연결 Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬 Req = R1 R2 / (R1 + R2 )
옴의 법칙 V = I·R
전력 P = V·I = I²R = V²/R 방법 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요. 단계마다 회로를 다시 그리세요. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요. 테브난·노턴
테브난 전압 Vth = Vopen circuit
테브난 저항 Rth : 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류 IN = Vth /Rth
부하 전류 IL = Vth /(Rth + RL )
최대 전력 전달 RL = Rth , Pmax = Vth ²/(4Rth ) 방법 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth 입니다. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth 입니다. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth 와 Rth 의 직렬. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth /Rth , RN = Rth 를 병렬로. 2 연습 문제1. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지 보통
+ − 3 V 250 Ω 250 Ω + ΔR 250 Ω 250 Ω a b + − 84.91 mV
네 변이 모두 250 Ω인 브리지에 3 V를 공급합니다. 센서 R₂가 변하면 출력이 Vab = 84.91 mV로 읽힙니다. R₂의 정확한 변화량 ΔR 을(를) 구하시오.
Vs = 3 V R = 250 Ω Vab = 84.91 mV
ΔR =
2. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지 어려움
+ − 5 V 350 Ω 350 Ω + ΔR 350 Ω 350 Ω a b + − 1.25 mV
E = 210 GPa인 부재에 붙인 스트레인 게이지(GF = 2)가 5 V로 여기되는 1/4 브리지를 이룹니다. 출력은 1.25 mV로 읽힙니다. 축 방향 응력 σ 을(를) MPa 단위로 구하시오.
Vs = 5 V GF = 2 Vo = 1.25 mV E = 210 GPa
σ =
3. 데이터 수집과 표본화 보통
Vin N = ? 150 °C 2ᴺ − 1 0 ≤ 0.1 °C 센서가 150 °C 범위의 온도을(를) 측정하며, 그 출력이 ADC의 입력 범위 전체를 채웁니다. 측정값은 0.1 °C을(를) 구분할 수 있어야 합니다. ADC에 필요한 최소 비트 수 N 을(를) 구하시오.
범위 = 150 °C 분해능 = 0.1 °C
N =
4. 데이터 수집과 표본화 어려움
1 2 2 ch ∿ 01 tc = 5 µs tset = 2.5 µs fs = ? 2채널 멀티플렉서가 ADC 하나에 연결됩니다. 변환 한 번에 5 µs가 걸리고, 채널을 바꿀 때마다 입력이 안정되는 데 2.5 µs가 필요합니다. 채널은 쉬지 않고 차례로 스캔됩니다. 각 채널의 표본화율 fs 을(를) kHz 단위로 구하시오.
n = 2 tc = 5 µs tset = 2.5 µs
fs =
5. 연산 증폭기 회로 보통
− + Vout R2 = 4.7 kΩ V1 = 1.8 V R1 = 22 kΩ V2 = 2.9 V R3 = 22 kΩ R4 = 4.7 kΩ 차동 증폭기는 ±15 V 전원의 이상적인 연산 증폭기를 쓰며, R3 = R1 , R4 = R2 이다. 출력 전압 Vout 을(를) 구하시오.
V1 = 1.8 V V2 = 2.9 V R1 = R3 = 22 kΩ R2 = R4 = 4.7 kΩ
Vout =
6. 연산 증폭기 회로 어려움
− + Vout C = 4.7 µF Vin = 2.4 V R = 1 kΩ 적분기는 ±15 V 전원의 이상적인 연산 증폭기를 쓰며, 출력은 ±13 V에서 포화된다. t = 0에 일정한 입력 Vin = 2.4 V를 가할 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 5 ms에서의 출력 전압 Vout 을(를) 구하시오.
Vin = 2.4 V R = 1 kΩ C = 4.7 µF Vsat = ±13 V t = 5 ms
Vout =
7. 저항의 직렬·병렬 보통
R1 = 5 Ω IR1 R3 = 12 Ω + − V1 10 V R2 4 Ω A R4 5 Ω B 전원이 공급하며 R1 에 흐르는 전류 IR1 을(를) 구하시오.
V1 = 10 V R1 = 5 Ω R2 = 4 Ω R3 = 12 Ω R4 = 5 Ω
IR1 =
8. 저항의 직렬·병렬 어려움
R1 = 4 Ω R3 = 12 Ω R5 = 4 Ω + − V1 18 V R2 8 Ω IR2 A R4 3 Ω B R6 25 Ω R2 에 흐르는 전류 IR2 을(를) 구하시오.
V1 = 18 V R1 = 4 Ω R2 = 8 Ω R3 = 12 Ω R4 = 3 Ω R5 = 4 Ω R6 = 25 Ω
IR2 =
9. 테브난·노턴 보통
R1 = 3 Ω R3 = 10 Ω + − V1 18 V R2 3 Ω A a b
노턴 전류 IN 을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.
V1 = 18 V R1 = 3 Ω R2 = 3 Ω R3 = 10 Ω
IN =
10. 테브난·노턴 어려움
R1 = 6 Ω R3 = 2 Ω + − V1 10 V R2 5 Ω A Is 5 A B RL 10 Ω IL a–b 사이에 부하 RL = 10 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 PL 을(를) 구하시오.
V1 = 10 V Is = 5 A R1 = 6 Ω R2 = 5 Ω R3 = 2 Ω RL = 10 Ω
PL =
3 용액1. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지
답: ΔR = 30 Ω
휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs 를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1 –R2 는 Va = Vs ·R2 /(R1 + R2 )를, 오른쪽 분압기 R3 –R4 는 Vb = Vs ·R4 /(R3 + R4 )를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb 입니다. 브리지는 R1 /R2 = R3 /R4 , 즉 R1 ·R4 = R2 ·R3 일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1 ∥R2 + R3 ∥R4 인 테브난 전원입니다.
노드 전압 Va = 1.5 + 0.08491 = 1.585 V
분압식 풀기 R₂ = 250·1.585/(3 − 1.585) = 280 Ω
ΔR = 280 − 250 = 30 Ω
2. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지
답: σ = 105 MPa
스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs ·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs ·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs ·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.
변형률 ε = 4·0.00125/(5·2) = 0.0005
응력 σ = 210·10³ MPa·0.0005 = 105 MPa
3. 데이터 수집과 표본화
답: N = 11
ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR 을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR /2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin /LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.
비트 log₂(1500) = 10.55
210 = 1024 < 1500 ≤ 211 = 2048
N = 11
4. 데이터 수집과 표본화
답: fs = 66.67 kHz
데이터 전송률: 각 채널은 초당 fs 개의 N비트 표본을 내보내므로 원시 전송률은 채널 수 × fs × N bit/s입니다. 메모리에서는 표본이 전체 바이트를 차지하므로(12비트 표본은 2바이트로 저장) 기록에 필요한 메모리는 채널 수 × fs × 표본당 바이트 수 × 시간입니다. 멀티플렉스 ADC는 채널을 차례로 변환합니다. (정착 시간을 포함한) 변환 한 번에 t가 걸리므로 n개 채널을 한 바퀴 도는 데 n·t가 걸리고, 각 채널은 1/(n·t)로 표본화됩니다.
5. 연산 증폭기 회로
답: Vout = 0.235 V
이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.
입력 단자의 전압 R₃와 R₄에는 같은 전류가 흐르므로 전압 분배기를 이루며, 귀환이 V₋ = V₊가 되게 합니다.
V₊ = V2 ·R4 /(R3 + R4 ) = 2.9·4.7/(22 + 4.7) = 0.5105 V
V₋ = V₊
반전 입력에서의 KCL (1.8 − 0.5105)/22 = (0.5105 − Vout )/4.7
Vout = (R2 /R1 )·(V2 − V1 ) = (4.7/22)·(2.9 − 1.8) = 0.235 V
6. 연산 증폭기 회로
답: Vout = −2.553 V
이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.
입력 전류와 증가율 kΩ × µF는 밀리초입니다.
RC = 1 kΩ · 4.7 µF = 4.7 ms
증가율 = −Vin /(RC) = −2.4/4.7 = −0.5106 V/ms
주어진 시각의 출력 이상값이 ±Vsat 안에 있으므로 적분기는 아직 잘리지 않았습니다.
Vout = −Vin ·t/(RC) = −2.4·5/4.7 = −2.553 V
7. 저항의 직렬·병렬
답: IR1 = 1.214 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
R1 = 5 Ω R3 = 12 Ω + − V1 10 V R2 4 Ω A R4 5 Ω B
먼 쪽 끝부터 저항 합치기 전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 12 + 5 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 4·17/(4+17) = 3.238 Ω
Req = R1 + 3.238 = 5 + 3.238 = 8.238 Ω
전원 전류 전원은 Req 만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1 /Req = 10/8.238 = 1.214 A
8. 저항의 직렬·병렬
답: IR2 = 1.27 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
R1 = 4 Ω R3 = 12 Ω R5 = 4 Ω + − V1 18 V R2 8 Ω A R4 3 Ω B R6 25 Ω
먼 쪽 끝부터 저항 합치기 전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 4 + 25 = 29 Ω
R4 ∥ 29 = 2.719 Ω
R3 + 2.719 = 14.72 Ω
R2 ∥ 14.72 = 5.183 Ω
Req = R1 + 5.183 = 4 + 5.183 = 9.183 Ω
전원 전류 전원은 Req 만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1 /Req = 18/9.183 = 1.96 A
R₂에 흐르는 전류 R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.
VA = V1 − IR1 ·R1 = 18 − 1.96·4 = 10.16 V
IR2 = VA /R2 = 10.16/8 = 1.27 A
9. 테브난·노턴
답: IN = 0.7826 A
테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth 와 저항 Rth 의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리 는 같은 회로를 전류원 IN = Vth /Rth 와 Rth 의 병렬 회로로 나타냅니다.
R1 = 3 Ω R3 = 10 Ω 단락 R2 3 Ω A a b Rth 모든 전원을 끄고 Rth 구하기 전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.
R1 ∥ R2 = 3·3/(3+3) = 1.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2 ) + R3 = 1.5 + 10 = 11.5 Ω
R1 = 3 Ω R3 = 10 Ω + − V1 18 V R2 3 Ω A a b + − Vth
개방 전압 Vth 구하기 a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.
Vth = V1 ·R2 /(R1 +R2 ) = 18·3/(3+3) = 9 V
노턴 등가 회로 노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.
IN = Vth /Rth = 9/11.5 = 0.7826 A
10. 테브난·노턴
답: PL = 36.62 W
테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth 와 저항 Rth 의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리 는 같은 회로를 전류원 IN = Vth /Rth 와 Rth 의 병렬 회로로 나타냅니다.
R1 = 6 Ω R3 = 2 Ω 단락 R2 5 Ω A 개방 B a b Rth 모든 전원을 끄고 Rth 구하기 전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.
R1 ∥ R2 = 6·5/(6+5) = 2.727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2 ) + R3 = 2.727 + 2 = 4.727 Ω
R1 = 6 Ω R3 = 2 Ω + − V1 10 V R2 5 Ω A Is 5 A B a b + − Vth 개방 전압 Vth 구하기 a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.
VA = V1 ·R2 /(R1 +R2 ) + Is ·(R1 ∥R2 ) = 4.545 + 5·2.727 = 18.18 V
Vth = VB = VA + Is ·R3 = 18.18 + 5·2 = 28.18 V
Rth = 4.727 Ω + − Vth 28.18 V RL 10 Ω IL 부하를 테브난 등가 회로에 연결하기 테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.
IL = Vth /(Rth + RL ) = 28.18/(4.727 + 10) = 1.914 A
PL = IL ²·RL = 1.914²·10 = 36.62 W