측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
배설량
Vab = Va − Vb
균형
R1/R2 = R3/R4
슬라이드 와이어 브리지
R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
게이지율
ΔR/R = GF·ε
브리지 출력
1/4 브리지 Vs·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs·GF·ε
미소 변화, 한 변
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
응력
σ = E·ε

방법

  1. 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
  2. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
  3. 불평형 브리지는 분압기에서 Va와 Vb를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
  4. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건
fs > 2·fmax, fN = fs/2
에일리어스 주파수
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
스텝 크기
1 LSB = VFSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림)
±½ LSB
절사형 ADC 코드
D = ⌊Vin/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수
2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률
채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기
baud = fclk/(16·D)

방법

  1. 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
  2. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs|에 나타납니다.
  3. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
  4. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
비반전 증폭기
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
가산 증폭기
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
이상적인 연산 증폭기
V+ = V−, Iin = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통
+−9 VR1​ = 40 ΩR2​ = 40 ΩR3​ = 500 ΩR4​ = 800 Ωab+−Rth​ = ?

그림의 브리지를 출력 단자 a와 b에서 본 테브난 저항 Rth을(를) 구하시오.

Vs = 9 VR1 = 40 ΩR2 = 40 ΩR3 = 500 ΩR4 = 800 Ω
Rth = Ω
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움
+−2.5 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−1.25 mV

능동 게이지 하나(GF = 2)인 1/4 브리지에 2.5 V를 여기합니다. 하중을 받으면 출력이 1.25 mV로 읽힙니다. 변형률 ε을(를) µε 단위로 구하시오.

Vs = 2.5 VGF = 2Vo = 1.25 mV
ε = µε
3.데이터 수집과 표본화보통
∿01N = 1025 kHz? MB

기록 장치가 채널 하나를 25 kHz로 10비트 ADC로 표본화합니다. 각 표본은 전체 바이트로 저장됩니다. 10분 기록에 필요한 메모리 M을(를) MB(1 MB = 10⁶ 바이트) 단위로 구하시오.

n = 1fs = 25 kHzN = 10t = 10 min
M = MB
4.데이터 수집과 표본화어려움
T10 mV/°C×10∿01N = 8, 2.5 V? °C/LSB

온도 센서가 10 mV/°C를 출력합니다(0 °C에서 0 V). 신호를 10배로 증폭해 입력 범위 0~2.5 V의 8비트 ADC에 넣습니다(1 LSB = VFSR/2ᴺ). LSB 하나에 해당하는 온도 변화 ΔTLSB을(를) 구하시오.

S = 10 mV/°CG = 10N = 8VFSR = 2.5 V
ΔTLSB = °C
5.연산 증폭기 회로보통
−+Vout​R2​ = 2 kΩV1​ = 1.4 VR1​ = 22 kΩV2​ = −2 VR3​ = 22 kΩR4​ = 2 kΩ

차동 증폭기는 ±15 V 전원의 이상적인 연산 증폭기를 쓰며, R3 = R1, R4 = R2이다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

V1 = 1.4 VV2 = −2 VR1 = R3 = 22 kΩR2 = R4 = 2 kΩ
Vout = V
6.연산 증폭기 회로어려움
−+Vout​Rf​ = 22 kΩV1​ = −0.1 VR1​ = 1 kΩV2​ = 1.1 VR2​ = 47 kΩIf​

가산 증폭기는 ±15 V 전원의 이상 연산 증폭기를 사용한다. 귀환 저항을 통해 출력 쪽으로 흐르는 전류 If을(를) 구하시오.

V1 = −0.1 VV2 = 1.1 VR1 = 1 kΩR2 = 47 kΩRf = 22 kΩ
If = mA
7.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩIR2​AR4​10 ΩB

R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩR3 = 3 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
8.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 30 ΩIR1​R3​ = 6 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​30 ΩAR4​25 ΩBR6​3 Ω

전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.

V1 = 24 VR1 = 30 ΩR2 = 30 ΩR3 = 6 ΩR4 = 25 ΩR5 = 8 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
9.테브난·노턴보통
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩARL​8 ΩIL​B

a–b 사이에 부하 RL = 8 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩRL = 8 Ω
IL = A
10.테브난·노턴어려움
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAIs​5 ABab

노턴 전류 IN을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.

V1 = 10 VIs = 5 AR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 Ω
IN = A

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: Rth = 327.7 Ω

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1–R2는 Va = Vs·R2/(R1 + R2)를, 오른쪽 분압기 R3–R4는 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb입니다. 브리지는 R1/R2 = R3/R4, 즉 R1·R4 = R2·R3일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1∥R2 + R3∥R4인 테브난 전원입니다.

전원 단락

R₁∥R₂ = 40·40/80 = 20 Ω
R₃∥R₄ = 500·800/1300 = 307.7 Ω

테브난 저항

Rth = 327.7 Ω

답

Rth = 327.7 Ω
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: ε = 1000 µε

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

1/4 브리지 방정식 풀기

ε = 4·0.00125/(2.5·2) = 0.001

마이크로 스트레인 단위로

ε = 1000 µε

답

ε = 1000 µε
3.데이터 수집과 표본화

답: M = 30 MB

데이터 전송률: 각 채널은 초당 fs개의 N비트 표본을 내보내므로 원시 전송률은 채널 수 × fs × N bit/s입니다. 메모리에서는 표본이 전체 바이트를 차지하므로(12비트 표본은 2바이트로 저장) 기록에 필요한 메모리는 채널 수 × fs × 표본당 바이트 수 × 시간입니다. 멀티플렉스 ADC는 채널을 차례로 변환합니다. (정착 시간을 포함한) 변환 한 번에 t가 걸리므로 n개 채널을 한 바퀴 도는 데 n·t가 걸리고, 각 채널은 1/(n·t)로 표본화됩니다.

표본당 바이트 수

⌈10/8⌉ = 2 B

바이트 전송률

1·25000·2 = 50000 B/s

메모리

M = 50000·600 = 3 × 10⁷ B = 30 MB

답

M = 30 MB
4.데이터 수집과 표본화

답: ΔTLSB = 0.09766 °C

ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.

스텝 크기

1 LSB = 2500/256 = 9.766 mV

ADC에서의 감도

10·10 = 100 mV/°C

온도 분해능

ΔTLSB = 9.766/100 = 0.09766 °C

답

ΔTLSB = 0.09766 °C

ADC는 25 °C에서 풀스케일에 도달합니다.

5.연산 증폭기 회로

답: Vout = −0.3091 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 단자의 전압

R₃와 R₄에는 같은 전류가 흐르므로 전압 분배기를 이루며, 귀환이 V₋ = V₊가 되게 합니다.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = −2·2/(22 + 2) = −0.1667 V
V₋ = V₊

반전 입력에서의 KCL

(1.4 − −0.1667)/22 = (−0.1667 − Vout)/2
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (2/22)·(−2 − 1.4) = −0.3091 V

답

Vout = −0.3091 V
6.연산 증폭기 회로

답: If = −0.0766 mA

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 전류

V₋ = 0이므로 각 입력 저항에는 입력 전압 전체가 걸립니다.

I1 = V1/R1 = −0.1/1 = −0.1 mA
I2 = V2/R2 = 1.1/47 = 0.0234 mA
If = I1 + I2 = −0.0766 mA

답

If = −0.0766 mA
7.저항의 직렬·병렬

답: IR2 = 0.9313 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 5 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAR4​10 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 3 + 10 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 15·13/(15+13) = 6.964 Ω
Req = R1 + 6.964 = 5 + 6.964 = 11.96 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 24/11.96 = 2.006 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2.006·5 = 13.97 V
IR2 = VA/R2 = 13.97/15 = 0.9313 A

답

IR2 = 0.9313 A
8.저항의 직렬·병렬

답: IR1 = 0.6095 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 30 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​30 ΩAR4​25 ΩBR6​3 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 8 + 3 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 7.639 Ω
R3 + 7.639 = 13.64 Ω
R2 ∥ 13.64 = 9.376 Ω
Req = R1 + 9.376 = 30 + 9.376 = 39.38 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 24/39.38 = 0.6095 A

답

IR1 = 0.6095 A
9.테브난·노턴

답: IL = 0.2239 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω단락R2​12 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 20 = 23.53 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·12/(5+12) = 7.059 V
Rth​ = 23.53 Ω+−Vth​7.059 VRL​8 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 7.059/(23.53 + 8) = 0.2239 A
10.테브난·노턴

답: IN = 5.588 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω단락R2​8 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 2·8/(2+8) = 1.6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.6 + 12 = 13.6 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8 + 5·1.6 = 16 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16 + 5·12 = 76 V
IN​5.588 ARth​13.6 Ωab

노턴 등가 회로

노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.

IN = Vth/Rth = 76/13.6 = 5.588 A

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