측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
배설량
Vab = Va − Vb
균형
R1/R2 = R3/R4
슬라이드 와이어 브리지
R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
게이지율
ΔR/R = GF·ε
브리지 출력
1/4 브리지 Vs·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs·GF·ε
미소 변화, 한 변
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
응력
σ = E·ε

방법

  1. 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
  2. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
  3. 불평형 브리지는 분압기에서 Va와 Vb를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
  4. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건
fs > 2·fmax, fN = fs/2
에일리어스 주파수
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
스텝 크기
1 LSB = VFSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림)
±½ LSB
절사형 ADC 코드
D = ⌊Vin/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수
2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률
채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기
baud = fclk/(16·D)

방법

  1. 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
  2. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs|에 나타납니다.
  3. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
  4. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
비반전 증폭기
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
가산 증폭기
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
이상적인 연산 증폭기
V+ = V−, Iin = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통
+−3 VR1​ = 500 ΩR2​ = 250 ΩR3​ = 50 ΩR4​ = 120 Ωab+−Rth​ = ?

그림의 브리지를 출력 단자 a와 b에서 본 테브난 저항 Rth을(를) 구하시오.

Vs = 3 VR1 = 500 ΩR2 = 250 ΩR3 = 50 ΩR4 = 120 Ω
Rth = Ω
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움
+−V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−

게이지율 2.05인 120 Ω 스트레인 게이지가 강철 막대에 부착되어 있습니다. 하중을 받으면 저항이 0.1968 Ω 증가합니다. 변형률 ε을(를) 마이크로 스트레인(µε) 단위로 구하시오.

R = 120 ΩGF = 2.05ΔR = 0.1968 Ω
ε = µε
3.데이터 수집과 표본화보통
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​10·Tb​38400 Bd, 8N1

UART가 38400 baud로 8N1 형식의 바이트를 보냅니다: 데이터 비트 8개, 패리티 없음, 정지 비트 1개, 그리고 시작 비트. 초당 전송할 수 있는 데이터 바이트의 최대 개수를 구하시오.

baud = 38400 Bd8N1
RB = B/s
4.데이터 수집과 표본화어려움
f0fs​/2fs​440 Hz3f₁?

440 Hz 구형파를 안티에일리어싱 필터 없이 2 kHz로 표본화합니다. 구형파에는 홀수 고조파 3f₁, 5f₁, 7f₁, …가 들어 있습니다. 고조파 3f₁은 표본화된 데이터의 어느 주파수 fa에 나타납니까? Hz 단위로 답하시오.

f₁ = 440 Hzfs = 2 kHz고조파: 3f₁
fa = Hz
5.연산 증폭기 회로보통
−+Vout​R2​ = 100 kΩV1​ = 2.5 VR1​ = 10 kΩV2​ = 1.2 VR3​ = 10 kΩR4​ = 100 kΩ

차동 증폭기는 ±15 V 전원의 이상적인 연산 증폭기를 쓰며, R3 = R1, R4 = R2이다. 반전 입력의 전압 V−을(를) 구하시오.

V1 = 2.5 VV2 = 1.2 VR1 = R3 = 10 kΩR2 = R4 = 100 kΩ
V− = V
6.연산 증폭기 회로어려움
−+Vout​Rf​ = 2 kΩV1​ = −0.2 VR1​ = 22 kΩV2​ = 1.6 VR2​ = 10 kΩ

가산 증폭기는 ±15 V 전원의 이상 연산 증폭기를 사용한다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

V1 = −0.2 VV2 = 1.6 VR1 = 22 kΩR2 = 10 kΩRf = 2 kΩ
Vout = V
7.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩIR2​AR4​4 ΩB

R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
8.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 12 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​5 Ω

R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 30 ΩR4 = 2 ΩR5 = 5 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
9.테브난·노턴보통
R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAab

단자 a–b에서 본 테브난 저항 Rth을(를) 구하시오.

V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 Ω
Rth = Ω
10.테브난·노턴어려움
R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​25 ΩAIs​5 ABRL​5 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 5 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 PL을(를) 구하시오.

V1 = 9 VIs = 5 AR1 = 8 ΩR2 = 25 ΩR3 = 6 ΩRL = 5 Ω
PL = W

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: Rth = 202 Ω

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1–R2는 Va = Vs·R2/(R1 + R2)를, 오른쪽 분압기 R3–R4는 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb입니다. 브리지는 R1/R2 = R3/R4, 즉 R1·R4 = R2·R3일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1∥R2 + R3∥R4인 테브난 전원입니다.

전원 단락

R₁∥R₂ = 500·250/750 = 166.7 Ω
R₃∥R₄ = 50·120/170 = 35.29 Ω

테브난 저항

Rth = 202 Ω

답

Rth = 202 Ω
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: ε = 800 µε

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

상대 저항 변화

ΔR/R = 0.1968/120 = 0.00164

변형률

ε = 0.00164/2.05 = 0.0008 = 800 µε

답

ε = 800 µε
3.데이터 수집과 표본화

답: RB = 3840 B/s

UART: 비동기 직렬 링크는 각 바이트를 프레임으로 보냅니다. 시작 비트 1개(low), 데이터 비트, 선택적 패리티 비트, 정지 비트 1~2개(high)입니다. 보율은 초당 비트 수이므로 한 비트는 Tb = 1/baud 동안 지속되고, n비트 프레임은 n/baud 동안 지속됩니다. 흔히 쓰는 8N1 형식은 바이트당 10비트입니다. 보율 발생기는 클록을 나눕니다: baud = fclk/(16·D)이며 D는 정수이므로 실제 보율은 목표값과 조금 다릅니다. 오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.

프레임당 비트 수

1 + 8 + 0 + 1 = 10

바이트 전송률

38400/10 = 3840 B/s

답

RB = 3840 B/s
4.데이터 수집과 표본화

답: fa = 680 Hz

표본화: ADC는 신호를 초당 fs번 측정합니다. 나이퀴스트-섀넌 정리에 따르면 주파수 f는 f < fs/2, 즉 나이퀴스트(접힘) 주파수보다 낮을 때만 올바르게 포착되므로, 표본화율은 신호 최고 주파수의 두 배를 넘어야 합니다. 더 높은 주파수는 사라지지 않고 fa = |f − k·fs|의 에일리어스로 나타나며, k는 결과가 0과 fs/2 사이가 되게 하는 정수입니다. 표본만으로는 둘을 구별할 수 없으므로 ADC 앞에서 아날로그 앤티에일리어싱 필터가 fs/2보다 높은 성분을 모두 제거해야 합니다.

고조파 주파수

3f₁ = 3·440 Hz = 1.32 kHz

표본화율의 가장 가까운 배수

m = round(0.66) = 1

에일리어스 주파수

fa = |1320 − 1·2000| = 680 Hz

답

fa = 680 Hz

에일리어스는 신호 대역 안에 놓이므로 디지털 필터로는 제거할 수 없습니다. ADC 앞의 아날로그 필터만 도움이 됩니다.

5.연산 증폭기 회로

답: V− = 1.091 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 단자의 전압

R₃와 R₄에는 같은 전류가 흐르므로 전압 분배기를 이루며, 귀환이 V₋ = V₊가 되게 합니다.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1.2·100/(10 + 100) = 1.091 V
V₋ = V₊

답

V− = 1.091 V
6.연산 증폭기 회로

답: Vout = −0.3018 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 전류

V₋ = 0이므로 각 입력 저항에는 입력 전압 전체가 걸립니다.

I1 = V1/R1 = −0.2/22 = −0.009091 mA
I2 = V2/R2 = 1.6/10 = 0.16 mA
If = I1 + I2 = 0.1509 mA

출력 전압

Vout = −Rf·If = −2·0.1509 = −0.3018 V

답

Vout = −0.3018 V
7.저항의 직렬·병렬

답: IR2 = 0.1895 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​4 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 20 + 4 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 20·24/(20+24) = 10.91 Ω
Req = R1 + 10.91 = 15 + 10.91 = 25.91 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 9/25.91 = 0.3474 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.3474·15 = 3.789 V
IR2 = VA/R2 = 3.789/20 = 0.1895 A

답

IR2 = 0.1895 A
8.저항의 직렬·병렬

답: IR2 = 0.2527 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 12 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​2 ΩBR6​5 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 5 + 5 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 1.667 Ω
R3 + 1.667 = 31.67 Ω
R2 ∥ 31.67 = 12.26 Ω
Req = R1 + 12.26 = 12 + 12.26 = 24.26 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 10/24.26 = 0.4122 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0.4122·12 = 5.053 V
IR2 = VA/R2 = 5.053/20 = 0.2527 A

답

IR2 = 0.2527 A
9.테브난·노턴

답: Rth = 11 Ω

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω단락R2​6 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 6·6/(6+6) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 8 = 11 Ω
10.테브난·노턴

답: PL = 49.14 W

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω단락R2​25 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 8·25/(8+25) = 6.061 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.061 + 6 = 12.06 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​25 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6.818 + (−5)·6.061 = −23.48 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −23.48 + (−5)·6 = −53.48 V
Rth​ = 12.06 Ω−+Vth​53.48 VRL​5 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = −53.48/(12.06 + 5) = −3.135 A
PL = IL²·RL = −3.135²·5 = 49.14 W

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