측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
배설량
Vab = Va − Vb
균형
R1/R2 = R3/R4
슬라이드 와이어 브리지
R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
게이지율
ΔR/R = GF·ε
브리지 출력
1/4 브리지 Vs·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs·GF·ε
미소 변화, 한 변
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
응력
σ = E·ε

방법

  1. 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
  2. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
  3. 불평형 브리지는 분압기에서 Va와 Vb를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
  4. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건
fs > 2·fmax, fN = fs/2
에일리어스 주파수
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
스텝 크기
1 LSB = VFSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림)
±½ LSB
절사형 ADC 코드
D = ⌊Vin/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수
2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파
SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률
채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기
baud = fclk/(16·D)

방법

  1. 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
  2. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs|에 나타납니다.
  3. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
  4. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
비반전 증폭기
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
가산 증폭기
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
이상적인 연산 증폭기
V+ = V−, Iin = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통
+−3 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vab​ = ?

브리지의 네 변이 모두 120 Ω이고 Vs = 3 V입니다. 센서 R₂가 ΔR = 30 Ω만큼 증가합니다. 정확한 출력 Vab을(를) mV 단위로 구하시오.

Vs = 3 VR = 120 ΩΔR = 30 Ω
Vab = mV
2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움
+−10 V1000 Ω1000 Ω + ΔR1000 Ω1000 Ωab+−5 mV

능동 게이지 하나(GF = 2)인 1/4 브리지에 10 V를 여기합니다. 하중을 받으면 출력이 5 mV로 읽힙니다. 변형률 ε을(를) µε 단위로 구하시오.

Vs = 10 VGF = 2Vo = 5 mV
ε = µε
3.데이터 수집과 표본화보통
Vin​N = ?150 °C2ᴺ − 10≤ 0.05 °C

센서가 150 °C 범위의 온도을(를) 측정하며, 그 출력이 ADC의 입력 범위 전체를 채웁니다. 측정값은 0.05 °C을(를) 구분할 수 있어야 합니다. ADC에 필요한 최소 비트 수 N을(를) 구하시오.

범위 = 150 °C분해능 = 0.05 °C
N =
4.데이터 수집과 표본화어려움
T10 mV/°C×2.5∿01N = 12, 3.3 V? °C/LSB

온도 센서가 10 mV/°C를 출력합니다(0 °C에서 0 V). 신호를 2.5배로 증폭해 입력 범위 0~3.3 V의 12비트 ADC에 넣습니다(1 LSB = VFSR/2ᴺ). LSB 하나에 해당하는 온도 변화 ΔTLSB을(를) 구하시오.

S = 10 mV/°CG = 2.5N = 12VFSR = 3.3 V
ΔTLSB = °C
5.연산 증폭기 회로보통
−+Vout​Rf​ = 10 kΩR1​ = 4.7 kΩVin​ = −0.6 V

연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

Vin = −0.6 VR1 = 4.7 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
6.연산 증폭기 회로어려움
−+Vout​Rf​ = 22 kΩV1​ = 0.3 VR1​ = 1 kΩV2​ = 0.6 VR2​ = 100 kΩ

가산 증폭기는 ±15 V 전원의 이상 연산 증폭기를 사용한다. 출력 전압 Vout을(를) 구하시오.

V1 = 0.3 VV2 = 0.6 VR1 = 1 kΩR2 = 100 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
7.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩIR2​AR4​15 ΩB

R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
8.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​3 ΩBR6​25 Ω

전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 ΩR4 = 3 ΩR5 = 25 ΩR6 = 25 Ω
Req = Ω
9.테브난·노턴보통
R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAab

단자 a–b에서 본 테브난 저항 Rth을(를) 구하시오.

V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 Ω
Rth = Ω
10.테브난·노턴어려움
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAIs​2 ABRL​15 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 15 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 PL을(를) 구하시오.

V1 = 12 VIs = 2 AR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩRL = 15 Ω
PL = W

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: Vab = 166.7 mV

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1–R2는 Va = Vs·R2/(R1 + R2)를, 오른쪽 분압기 R3–R4는 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb입니다. 브리지는 R1/R2 = R3/R4, 즉 R1·R4 = R2·R3일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1∥R2 + R3∥R4인 테브난 전원입니다.

노드 전압

Va = 3·150/270 = 1.667 V
Vb = 1.5 V

배설량

Vab = 166.7 mV

답

Vab = 166.7 mV

선형 추정값 Vs·ΔR/(4R) = 187.5 mV는 12.5 % 높게 나옵니다. 1/4 브리지는 완전한 선형이 아닙니다.

2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: ε = 1000 µε

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

1/4 브리지 방정식 풀기

ε = 4·0.005/(10·2) = 0.001

마이크로 스트레인 단위로

ε = 1000 µε

답

ε = 1000 µε
3.데이터 수집과 표본화

답: N = 12

ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.

필요한 스텝 수

150/0.05 = 3000

비트

log₂(3000) = 11.55
211 = 2048 < 3000 ≤ 212 = 4096
N = 12

답

N = 12
4.데이터 수집과 표본화

답: ΔTLSB = 0.03223 °C

ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.

스텝 크기

1 LSB = 3300/4096 = 0.8057 mV

ADC에서의 감도

10·2.5 = 25 mV/°C

온도 분해능

ΔTLSB = 0.8057/25 = 0.03223 °C

답

ΔTLSB = 0.03223 °C

ADC는 132 °C에서 풀스케일에 도달합니다.

5.연산 증폭기 회로

답: Vout = −1.877 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

반전 입력이 입력을 따라감

V₋ = V₊ = −0.6 V
I = V₋/R1 = −0.6/4.7 = −0.1277 mA

출력 전압

R₁의 전류는 Rf에도 흐릅니다.

Vout = V₋ + I·Rf = −0.6 + (−0.1277)·10 = −1.877 V

답

Vout = −1.877 V
6.연산 증폭기 회로

답: Vout = −6.732 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

입력 전류

V₋ = 0이므로 각 입력 저항에는 입력 전압 전체가 걸립니다.

I1 = V1/R1 = 0.3/1 = 0.3 mA
I2 = V2/R2 = 0.6/100 = 0.006 mA
If = I1 + I2 = 0.306 mA

출력 전압

Vout = −Rf·If = −22·0.306 = −6.732 V

답

Vout = −6.732 V
7.저항의 직렬·병렬

답: IR2 = 0.2667 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​15 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 15 + 15 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 20·30/(20+30) = 12 Ω
Req = R1 + 12 = 15 + 12 = 27 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 12/27 = 0.4444 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0.4444·15 = 5.333 V
IR2 = VA/R2 = 5.333/20 = 0.2667 A

답

IR2 = 0.2667 A
8.저항의 직렬·병렬

답: Req = 7.652 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 5 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​3 ΩBR6​25 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 25 + 25 = 50 Ω
R4 ∥ 50 = 2.83 Ω
R3 + 2.83 = 22.83 Ω
R2 ∥ 22.83 = 2.652 Ω
Req = R1 + 2.652 = 5 + 2.652 = 7.652 Ω

답

Req = 7.652 Ω
9.테브난·노턴

답: Rth = 15.22 Ω

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω단락R2​8 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 15·8/(15+8) = 5.217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5.217 + 10 = 15.22 Ω
10.테브난·노턴

답: PL = 30.84 W

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω단락R2​10 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.857 + 20 = 22.86 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​10 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8.571 + 2·2.857 = 14.29 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 14.29 + 2·20 = 54.29 V
Rth​ = 22.86 Ω+−Vth​54.29 VRL​15 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 54.29/(22.86 + 15) = 1.434 A
PL = IL²·RL = 1.434²·15 = 30.84 W

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