측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
배설량: V_ab = V_a − V_b
균형: R₁/R₂ = R₃/R₄
슬라이드 와이어 브리지: R/R_x = l/(100 − l)
테브난 저항: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
게이지율: ΔR/R = GF·ε
브리지 출력: 1/4 브리지 V_s·GF·ε/4, 1/2 브리지 V_s·GF·ε/2, 풀 브리지 V_s·GF·ε
미소 변화, 한 변: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
응력: σ = E·ε

방법

브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
불평형 브리지는 분압기에서 V_a와 V_b를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 V_s·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
에일리어스 주파수: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
스텝 크기: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림): ±½ LSB
절사형 ADC 코드: D = ⌊V_in/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수: 2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률: 채널 수 × f_s × N bit/s
멀티플렉스 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기: baud = f_clk/(16·D)

방법

주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
표본화 문제에서는 각 주파수를 f_s/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 f_s의 가장 가까운 배수를 이용해 f_a = |f − k·f_s|에 나타납니다.
분해능 문제에서는 1 LSB = V_FSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
비반전 증폭기: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
가산 증폭기: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
이상적인 연산 증폭기: V₊ = V₋, I_in = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압: V_th = V_{open circuit}
테브난 저항: R_th: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류: I_N = V_th/R_th
부하 전류: I_L = V_th/(R_th + R_L)
최대 전력 전달: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

방법

부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 V_th입니다.
모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 R_th입니다.
부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: V_th와 R_th의 직렬.
노턴 등가 회로로 변환합니다: I_N = V_th/R_th, R_N = R_th를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통

브리지의 네 변이 모두 350 Ω이고 V_s = 2 V입니다. 센서 R₂가 ΔR = 0.35 Ω만큼 증가합니다. 미소 변화 근사를 써서 출력 V_ab을(를) mV 단위로 구하시오.

V_s = 2 VR = 350 ΩΔR = 0.35 Ω

V_ab = mV

2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움

로드셀(스트레인 게이지의 풀 브리지)의 정격 출력은 정격 하중 100 kg에서 3 mV/V입니다. 여기 전압은 5 V입니다. 하중 80 kg에서의 출력 V_o을(를) 구하시오.

3 mV/VF_rated = 100 kgV_s = 5 VF = 80 kg

V_o = mV

3.데이터 수집과 표본화보통

5.6 kHz 사인파를 안티에일리어싱 필터 없이 4 kHz로 표본화합니다. 표본에서 어느 주파수 f_a에 나타납니까? Hz 단위로 답하시오.

f = 5.6 kHzf_s = 4 kHz

f_a = Hz

4.데이터 수집과 표본화어려움

온도 센서가 1 mV/°C를 출력합니다(0 °C에서 0 V). 신호를 20배로 증폭해 입력 범위 0~5 V의 12비트 ADC에 넣습니다(1 LSB = V_FSR/2ᴺ). LSB 하나에 해당하는 온도 변화 ΔT_LSB을(를) 구하시오.

S = 1 mV/°CG = 20N = 12V_FSR = 5 V

ΔT_LSB = °C

5.연산 증폭기 회로보통

연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 출력은 ±14 V에서 포화된다. 반전 증폭기를 사인파로 구동한다. 출력이 잘리지 않는 최대 입력 진폭 V_in,max(최댓값)을(를) 구하시오.

R₁ = 10 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

6.연산 증폭기 회로어려움

가산 증폭기는 ±15 V 전원의 이상 연산 증폭기를 사용한다. 귀환 저항을 통해 출력 쪽으로 흐르는 전류 I_f을(를) 구하시오.

V₁ = −1.4 VV₂ = 0.9 VR₁ = 10 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 4.7 kΩ

I_f = mA

7.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

8.저항의 직렬·병렬어려움

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

9.테브난·노턴보통

a–b 사이에 부하 R_L = 12 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 I_L을(를) 구하시오.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

10.테브난·노턴어려움

a–b 사이에 부하 R_L = 30 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 P_L을(를) 구하시오.

V₁ = 10 VI_s = 5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 30 Ω

P_L = W

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: V_ab = 0.5 mV

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 V_s를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R₁–R₂는 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)를, 오른쪽 분압기 R₃–R₄는 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)를 주며, 출력은 V_ab = V_a − V_b입니다. 브리지는 R₁/R₂ = R₃/R₄, 즉 R₁·R₄ = R₂·R₃일 때 평형(V_ab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄인 테브난 전원입니다.

상대 변화

ΔR/R = 0.35/350 = 0.001

선형화한 출력

V_ab ≈ 2·0.001/4 = 0.5 mV

답

V_ab = 0.5 mV

정확한 값은 0.4998 mV입니다. ΔR/R이 작을 때는 근사가 잘 맞습니다.

2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: V_o = 12 mV

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 V_o ≈ V_s·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 V_s·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 V_s·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

풀 스케일 출력

3·5 = 15 mV

이 하중에서의 출력

V_o = 15·80/100 = 12 mV

답

V_o = 12 mV

3.데이터 수집과 표본화

답: f_a = 1600 Hz

표본화: ADC는 신호를 초당 f_s번 측정합니다. 나이퀴스트-섀넌 정리에 따르면 주파수 f는 f < f_s/2, 즉 나이퀴스트(접힘) 주파수보다 낮을 때만 올바르게 포착되므로, 표본화율은 신호 최고 주파수의 두 배를 넘어야 합니다. 더 높은 주파수는 사라지지 않고 f_a = |f − k·f_s|의 에일리어스로 나타나며, k는 결과가 0과 f_s/2 사이가 되게 하는 정수입니다. 표본만으로는 둘을 구별할 수 없으므로 ADC 앞에서 아날로그 앤티에일리어싱 필터가 f_s/2보다 높은 성분을 모두 제거해야 합니다.

나이퀴스트 주파수

f_s/2 = 2 kHz < f = 5.6 kHz

표본화율의 가장 가까운 배수

k = round(5600/4000) = 1

에일리어스 주파수

f_a = |5600 − 1·4000| = 1600 Hz

답

f_a = 1600 Hz

그림의 점선 곡선이 에일리어스입니다. 정확히 같은 표본들을 지납니다.

4.데이터 수집과 표본화

답: ΔT_LSB = 0.06104 °C

ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 V_FSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = V_FSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊V_in/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.

스텝 크기

1 LSB = 5000/4096 = 1.221 mV

ADC에서의 감도

1·20 = 20 mV/°C

온도 분해능

ΔT_LSB = 1.221/20 = 0.06104 °C

답

ΔT_LSB = 0.06104 °C

ADC는 250 °C에서 풀스케일에 도달합니다.

5.연산 증폭기 회로

답: V_in,max = 2.979 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

이득

|A_v| = R_f/R₁ = 47/10 = 4.7

잘리기 전의 최대 입력

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/4.7 = 2.979 V

답

V_in,max = 2.979 V

6.연산 증폭기 회로

답: I_f = −0.09909 mA

입력 전류

V₋ = 0이므로 각 입력 저항에는 입력 전압 전체가 걸립니다.

I₁ = V₁/R₁ = −1.4/10 = −0.14 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0.9/22 = 0.04091 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.09909 mA

답

I_f = −0.09909 mA

7.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.4545 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 12·8/(12+8) = 4.8 Ω

R_eq = R₁ + 4.8 = 15 + 4.8 = 19.8 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/19.8 = 0.4545 A

답

I_R1 = 0.4545 A

8.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.6999 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 3 + 10 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 3.059 Ω

R₃ + 3.059 = 18.06 Ω

R₂ ∥ 18.06 = 2.573 Ω

R_eq = R₁ + 2.573 = 6 + 2.573 = 8.573 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/8.573 = 0.6999 A

답

I_R1 = 0.6999 A

9.테브난·노턴

답: I_L = 0.4768 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 V_th와 저항 R_th의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 I_N = V_th/R_th와 R_th의 병렬 회로로 나타냅니다.

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5.455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.455 + 10 = 15.45 Ω

개방 전압 V_th 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·12/(10+12) = 13.09 V

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 13.09/(15.45 + 12) = 0.4768 A

10.테브난·노턴

답: P_L = 14.6 W

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R₁ ∥ R₂ = 12·3/(12+3) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 2 = 4.4 Ω

개방 전압 V_th 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2 + 5·2.4 = 14 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 14 + 5·2 = 24 V

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 24/(4.4 + 30) = 0.6977 A

P_L = I_L²·R_L = 0.6977²·30 = 14.6 W

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측정 및 계측: 벼락치기 팩

1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

방법

데이터 수집과 표본화

방법

연산 증폭기 회로

저항의 직렬·병렬

방법

테브난·노턴

방법

2연습 문제

3용액

상대 변화

선형화한 출력

답

풀 스케일 출력

이 하중에서의 출력

답

나이퀴스트 주파수

표본화율의 가장 가까운 배수

에일리어스 주파수

답

스텝 크기

ADC에서의 감도

온도 분해능

답

이득

잘리기 전의 최대 입력

답

입력 전류

답

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원 전류

답

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원 전류

답

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

개방 전압 Vth 구하기

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

개방 전압 Vth 구하기

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

개방 전압 V_th 구하기

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

개방 전압 V_th 구하기