측정 및 계측: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

분압기 전압: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
배설량: V_ab = V_a − V_b
균형: R₁/R₂ = R₃/R₄
슬라이드 와이어 브리지: R/R_x = l/(100 − l)
테브난 저항: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
게이지율: ΔR/R = GF·ε
브리지 출력: 1/4 브리지 V_s·GF·ε/4, 1/2 브리지 V_s·GF·ε/2, 풀 브리지 V_s·GF·ε
미소 변화, 한 변: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
응력: σ = E·ε

방법

브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요.
평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요.
불평형 브리지는 분압기에서 V_a와 V_b를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요.
스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 V_s·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요.

데이터 수집과 표본화

나이퀴스트 조건: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
에일리어스 주파수: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
스텝 크기: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
양자화 오차(반올림): ±½ LSB
절사형 ADC 코드: D = ⌊V_in/LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수: 2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률: 채널 수 × f_s × N bit/s
멀티플렉스 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기: baud = f_clk/(16·D)

방법

주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율.
표본화 문제에서는 각 주파수를 f_s/2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 f_s의 가장 가까운 배수를 이용해 f_a = |f − k·f_s|에 나타납니다.
분해능 문제에서는 1 LSB = V_FSR/2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요.
데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트.

연산 증폭기 회로

반전 증폭기: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
비반전 증폭기: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
가산 증폭기: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
이상적인 연산 증폭기: V₊ = V₋, I_in = 0

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

테브난·노턴

테브난 전압: V_th = V_{open circuit}
테브난 저항: R_th: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류: I_N = V_th/R_th
부하 전류: I_L = V_th/(R_th + R_L)
최대 전력 전달: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

방법

부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 V_th입니다.
모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 R_th입니다.
부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: V_th와 R_th의 직렬.
노턴 등가 회로로 변환합니다: I_N = V_th/R_th, R_N = R_th를 병렬로.

2연습 문제

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지보통

브리지의 네 변이 모두 200 Ω이고 V_s = 5 V입니다. 센서 R₂가 ΔR = 50 Ω만큼 증가합니다. 정확한 출력 V_ab을(를) mV 단위로 구하시오.

V_s = 5 VR = 200 ΩΔR = 50 Ω

V_ab = mV

2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지어려움

1/4 브리지(능동 게이지 하나, GF = 2.1)에 5 V를 여기합니다. 측정해야 할 최대 변형률은 1200 µε이며, 이것이 아날로그-디지털 변환기의 입력에서 5 V가 되어야 합니다. 증폭기 이득 G을(를) 구하시오.

V_s = 5 VGF = 2.1ε_max = 1200 µεV_FS = 5 V

G =

3.데이터 수집과 표본화보통

풀스케일 사인파에 대한 8비트 ADC의 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR을(를) 구하시오.

N = 8

SQNR = dB

4.데이터 수집과 표본화어려움

12 MHz 클록의 마이크로컨트롤러가 UART 보율을 f_clk/(16·D)로 설정하며, D는 가장 가까운 정수로 반올림한 값입니다. 목표는 2400 baud입니다. 실제 보율의 백분율 오차(너무 빠르면 양수)를 구하시오.

f_clk = 12 MHz목표값 = 2400 Bd

e = %

5.연산 증폭기 회로보통

연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 출력 전압 V_out을(를) 구하시오.

V_in = −0.4 VR₁ = 47 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

6.연산 증폭기 회로어려움

적분기는 ±15 V 전원의 이상적인 연산 증폭기를 쓰며, 출력은 ±14 V에서 포화된다. t = 0에 일정한 입력 V_in = −0.7 V를 가할 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 5 ms에서의 출력 전압 V_out을(를) 구하시오.

V_in = −0.7 VR = 2.2 kΩC = 0.22 µFV_sat = ±14 Vt = 5 ms

V_out = V

7.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

8.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 5 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

9.테브난·노턴보통

노턴 전류 I_N을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

10.테브난·노턴어려움

a–b 사이에 부하 R_L = 30 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 P_L을(를) 구하시오.

V₁ = 5 VI_s = 6 AR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 30 Ω

P_L = W

3용액

1.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: V_ab = 277.8 mV

휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 V_s를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R₁–R₂는 V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂)를, 오른쪽 분압기 R₃–R₄는 V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)를 주며, 출력은 V_ab = V_a − V_b입니다. 브리지는 R₁/R₂ = R₃/R₄, 즉 R₁·R₄ = R₂·R₃일 때 평형(V_ab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄인 테브난 전원입니다.

노드 전압

V_a = 5·250/450 = 2.778 V

V_b = 2.5 V

배설량

V_ab = 277.8 mV

답

V_ab = 277.8 mV

선형 추정값 V_s·ΔR/(4R) = 312.5 mV는 12.5 % 높게 나옵니다. 1/4 브리지는 완전한 선형이 아닙니다.

2.휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

답: G = 1587

스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 V_o ≈ V_s·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 V_s·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 V_s·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.

풀 스케일에서의 브리지 출력

V_o = 3.15 mV

이득

G = 5/0.00315 = 1587

답

G = 1587

3.데이터 수집과 표본화

답: SQNR = 49.92 dB

ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 V_FSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = V_FSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊V_in/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.

이상적인 SQNR

SQNR = 6.02·8 + 1.76 = 49.92 dB

답

SQNR = 49.92 dB

4.데이터 수집과 표본화

답: e = −0.1597 %

UART: 비동기 직렬 링크는 각 바이트를 프레임으로 보냅니다. 시작 비트 1개(low), 데이터 비트, 선택적 패리티 비트, 정지 비트 1~2개(high)입니다. 보율은 초당 비트 수이므로 한 비트는 T_b = 1/baud 동안 지속되고, n비트 프레임은 n/baud 동안 지속됩니다. 흔히 쓰는 8N1 형식은 바이트당 10비트입니다. 보율 발생기는 클록을 나눕니다: baud = f_clk/(16·D)이며 D는 정수이므로 실제 보율은 목표값과 조금 다릅니다. 오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.

분주비

D = 12·10⁶/(16·2400) = 312.5 → 313

실제 보율

12·10⁶/(16·313) = 2396 Bd

오차

(2396 − 2400)/2400·100 = −0.1597 %

답

e = −0.1597 %

오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.

5.연산 증폭기 회로

답: V_out = −0.8 V

이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.

반전 입력이 입력을 따라감

V₋ = V₊ = −0.4 V

I = V₋/R₁ = −0.4/47 = −0.008511 mA

출력 전압

R₁의 전류는 R_f에도 흐릅니다.

V_out = V₋ + I·R_f = −0.4 + (−0.008511)·47 = −0.8 V

답

V_out = −0.8 V

6.연산 증폭기 회로

답: V_out = 7.231 V

입력 전류와 증가율

kΩ × µF는 밀리초입니다.

RC = 2.2 kΩ · 0.22 µF = 0.484 ms

증가율 = −V_in/(RC) = −(−0.7)/0.484 = 1.446 V/ms

주어진 시각의 출력

이상값이 ±V_sat 안에 있으므로 적분기는 아직 잘리지 않았습니다.

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−0.7)·5/0.484 = 7.231 V

답

V_out = 7.231 V

7.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 1.125 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 15 + 5 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω

R_eq = R₁ + 6.667 = 20 + 6.667 = 26.67 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/26.67 = 1.125 A

답

I_R1 = 1.125 A

8.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.1313 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 6 + 20 = 26 Ω

R₄ ∥ 26 = 3.467 Ω

R₃ + 3.467 = 7.467 Ω

R₂ ∥ 7.467 = 4.275 Ω

R_eq = R₁ + 4.275 = 12 + 4.275 = 16.27 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/16.27 = 0.3072 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0.3072·12 = 1.313 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.313/10 = 0.1313 A

답

I_R2 = 0.1313 A

9.테브난·노턴

답: I_N = 0.7826 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 V_th와 저항 R_th의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 I_N = V_th/R_th와 R_th의 병렬 회로로 나타냅니다.

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R₁ ∥ R₂ = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.077 + 4 = 7.077 Ω

개방 전압 V_th 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·8/(5+8) = 5.538 V

노턴 등가 회로

노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.

I_N = V_th/R_th = 5.538/7.077 = 0.7826 A

10.테브난·노턴

답: P_L = 104 W

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R₁ ∥ R₂ = 25·12/(25+12) = 8.108 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.108 + 5 = 13.11 Ω

개방 전압 V_th 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1.622 + 6·8.108 = 50.27 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 50.27 + 6·5 = 80.27 V

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 80.27/(13.11 + 30) = 1.862 A

P_L = I_L²·R_L = 1.862²·30 = 104 W

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측정 및 계측: 벼락치기 팩

1공식과 풀이 방법

휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지

방법

데이터 수집과 표본화

방법

연산 증폭기 회로

저항의 직렬·병렬

방법

테브난·노턴

방법

2연습 문제

3용액

노드 전압

배설량

답

풀 스케일에서의 브리지 출력

이득

답

이상적인 SQNR

답

분주비

실제 보율

오차

답

반전 입력이 입력을 따라감

출력 전압

답

입력 전류와 증가율

주어진 시각의 출력

답

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원 전류

답

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원 전류

R₂에 흐르는 전류

답

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

개방 전압 Vth 구하기

노턴 등가 회로

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

개방 전압 Vth 구하기

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

개방 전압 V_th 구하기

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

개방 전압 V_th 구하기