1 공식과 풀이 방법휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지
분압기 전압 Va = Vs R2 /(R1 + R2 ), Vb = Vs R4 /(R3 + R4 )
배설량 Vab = Va − Vb
균형 R1 /R2 = R3 /R4
슬라이드 와이어 브리지 R/Rx = l/(100 − l)
테브난 저항 Rth = R1 ∥R2 + R3 ∥R4
게이지율 ΔR/R = GF·ε
브리지 출력 1/4 브리지 Vs ·GF·ε/4, 1/2 브리지 Vs ·GF·ε/2, 풀 브리지 Vs ·GF·ε
미소 변화, 한 변 Vab ≈ Vs ·ΔR/(4R)
응력 σ = E·ε 방법 브리지를 같은 전원에 걸린 두 개의 분압기로 보세요. 평형에서는 R₁/R₂ = R₃/R₄로 놓고 미지 저항에 대해 푸세요. 불평형 브리지는 분압기에서 Va 와 Vb 를 구해 빼세요. 계기가 출력에 부하로 걸리면 테브난 등가회로를 쓰세요. 스트레인 게이지는 변형률을 ΔR/R = GF·ε로 바꾸고, 1/4, 1/2, 풀 브리지에 대해 각각 Vs ·GF·ε/4, /2, ×1을 쓰세요. 데이터 수집과 표본화
나이퀴스트 조건 fs > 2·fmax , fN = fs /2
에일리어스 주파수 fa = |f − k·fs |, k = round(f/fs )
스텝 크기 1 LSB = VFSR /2ᴺ
양자화 오차(반올림) ±½ LSB
절사형 ADC 코드 D = ⌊Vin /LSB⌋
분해능 r에 필요한 비트 수 2ᴺ ≥ span/r
이상적인 SQNR, 풀스케일 사인파 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
데이터 전송률 채널 수 × fs × N bit/s
멀티플렉스 ADC fs = 1/(n·(tc + tset ))
UART Tb = 1/baud; 8N1 = 바이트당 10비트; bytes/s = baud/프레임당 비트 수
보율 분주기 baud = fclk /(16·D) 방법 주어진 값을 적으세요: 표본화율, 신호 주파수, 비트 수, 입력 범위, 보율. 표본화 문제에서는 각 주파수를 fs /2와 비교하세요. 더 높은 주파수는 fs 의 가장 가까운 배수를 이용해 fa = |f − k·fs |에 나타납니다. 분해능 문제에서는 1 LSB = VFSR /2ᴺ을 구하거나, 2ᴺ ≥ 범위/분해능을 만족하는 가장 작은 N을 찾으세요. 데이터 전송률과 UART 링크 문제에서는 전송되는 모든 것을 세세요: 채널, 초당 표본 수, 표본당 비트 또는 전체 바이트, 그리고 모든 프레임의 시작, 패리티, 정지 비트. 연산 증폭기 회로
반전 증폭기 Vout = −(Rf /Rin )·Vin
비반전 증폭기 Vout = (1 + Rf /R1 )·Vin
가산 증폭기 Vout = −Rf (V1 /R1 + V2 /R2 )
이상적인 연산 증폭기 V+ = V− , Iin = 0 저항의 직렬·병렬
저항의 직렬 연결 Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬 Req = R1 R2 / (R1 + R2 )
옴의 법칙 V = I·R
전력 P = V·I = I²R = V²/R 방법 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요. 단계마다 회로를 다시 그리세요. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요. 테브난·노턴
테브난 전압 Vth = Vopen circuit
테브난 저항 Rth : 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류 IN = Vth /Rth
부하 전류 IL = Vth /(Rth + RL )
최대 전력 전달 RL = Rth , Pmax = Vth ²/(4Rth ) 방법 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth 입니다. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth 입니다. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth 와 Rth 의 직렬. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth /Rth , RN = Rth 를 병렬로. 2 연습 문제1. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지 보통
+ − 3 V 250 Ω 250 Ω + ΔR 250 Ω 250 Ω a b + − Vab = ?
브리지의 네 변이 모두 250 Ω이고 Vs = 3 V입니다. 센서 R₂가 ΔR = 2.5 Ω만큼 증가합니다. 미소 변화 근사를 써서 출력 Vab 을(를) mV 단위로 구하시오.
Vs = 3 V R = 250 Ω ΔR = 2.5 Ω
Vab =
2. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지 어려움
+ − 10 V 120 Ω − ΔR 120 Ω + ΔR 120 Ω 120 Ω a b + − Vo = ?
네 변이 120 Ω인 브리지에 10 V를 여기하며 구성은 다음과 같습니다: 인접한 변에 능동 게이지 둘, 하나는 인장·하나는 압축(1/2 브리지). 게이지율은 2.12이고 변형률은 600 µε입니다. 브리지 출력 Vo 을(를) mV 단위로 구하시오.
Vs = 10 V GF = 2.12 ε = 600 µε
Vo =
3. 데이터 수집과 표본화 보통
Vin N = ? 5 V 2ᴺ − 1 0 ≤ 5 mV 입력 범위가 0~5 V인 ADC가 5 mV 이하의 스텝을 구분해야 합니다. 필요한 최소 비트 수 N 을(를) 구하시오.
VFSR = 5 V 분해능 = 5 mV
N =
4. 데이터 수집과 표본화 어려움
S D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 1/fbaud 10 MHz / (16·D) 10 MHz 클록의 마이크로컨트롤러가 UART 보율을 fclk /(16·D)로 설정하며, D는 가장 가까운 정수로 반올림한 값입니다. 목표는 4800 baud입니다. 실제 보율의 백분율 오차(너무 빠르면 양수)를 구하시오.
fclk = 10 MHz 목표값 = 4800 Bd
e =
5. 연산 증폭기 회로 보통
− + Vout Rf = 100 kΩ R1 = 2 kΩ Vin = 1 V Ra = 22 kΩ Rb = 4.7 kΩ 연산 증폭기는 이상적이며 ±15 V 전원으로 동작한다. 출력 전압 Vout 을(를) 구하시오.
Vin = 1 V Ra = 22 kΩ Rb = 4.7 kΩ R1 = 2 kΩ Rf = 100 kΩ
Vout =
6. 연산 증폭기 회로 어려움
− + Vout Rf = 10 kΩ V1 = −0.7 V R1 = 1 kΩ V2 = −0.1 V R2 = 10 kΩ If 가산 증폭기는 ±15 V 전원의 이상 연산 증폭기를 사용한다. 귀환 저항을 통해 출력 쪽으로 흐르는 전류 If 을(를) 구하시오.
V1 = −0.7 V V2 = −0.1 V R1 = 1 kΩ R2 = 10 kΩ Rf = 10 kΩ
If =
7. 저항의 직렬·병렬 보통
R1 = 8 Ω R3 = 5 Ω + − V1 30 V R2 5 Ω IR2 A R4 8 Ω B R2 에 흐르는 전류 IR2 을(를) 구하시오.
V1 = 30 V R1 = 8 Ω R2 = 5 Ω R3 = 5 Ω R4 = 8 Ω
IR2 =
8. 저항의 직렬·병렬 어려움
R1 = 8 Ω R3 = 4 Ω R5 = 12 Ω + − V1 15 V R2 25 Ω A R4 10 Ω B R6 15 Ω
전원 V1 이(가) 보는 합성 저항 Req 을(를) 구하시오.
V1 = 15 V R1 = 8 Ω R2 = 25 Ω R3 = 4 Ω R4 = 10 Ω R5 = 12 Ω R6 = 15 Ω
Req =
9. 테브난·노턴 보통
R1 = 10 Ω R3 = 12 Ω + − V1 6 V R2 10 Ω A a b
단자 a–b에서 본 테브난 저항 Rth 을(를) 구하시오.
V1 = 6 V R1 = 10 Ω R2 = 10 Ω R3 = 12 Ω
Rth =
10. 테브난·노턴 어려움
R1 = 8 Ω R3 = 10 Ω + − V1 24 V R2 6 Ω A Is 2.5 A B a b 노턴 전류 IN 을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.
V1 = 24 V Is = 2.5 A R1 = 8 Ω R2 = 6 Ω R3 = 10 Ω
IN =
3 용액1. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지
답: Vab = 7.5 mV
휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs 를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1 –R2 는 Va = Vs ·R2 /(R1 + R2 )를, 오른쪽 분압기 R3 –R4 는 Vb = Vs ·R4 /(R3 + R4 )를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb 입니다. 브리지는 R1 /R2 = R3 /R4 , 즉 R1 ·R4 = R2 ·R3 일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1 ∥R2 + R3 ∥R4 인 테브난 전원입니다.
정확한 값은 7.463 mV입니다. ΔR/R이 작을 때는 근사가 잘 맞습니다.
2. 휘트스톤 브리지와 스트레인 게이지
답: Vo = 6.36 mV
스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs ·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs ·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs ·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.
상대 저항 변화 ΔR/R = 2.12·600·10⁻⁶ = 0.001272
브리지 출력 Vo = Vs ·GF·ε/2 = 10·0.001272/2 = 6.36 mV
3. 데이터 수집과 표본화
답: N = 10
ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR 을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR /2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin /LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.
비트 log₂(1000) = 9.966
29 = 512 < 1000 ≤ 210 = 1024
N = 10
4. 데이터 수집과 표본화
답: e = 0.1603 %
UART: 비동기 직렬 링크는 각 바이트를 프레임으로 보냅니다. 시작 비트 1개(low), 데이터 비트, 선택적 패리티 비트, 정지 비트 1~2개(high)입니다. 보율은 초당 비트 수이므로 한 비트는 Tb = 1/baud 동안 지속되고, n비트 프레임은 n/baud 동안 지속됩니다. 흔히 쓰는 8N1 형식은 바이트당 10비트입니다. 보율 발생기는 클록을 나눕니다: baud = fclk /(16·D)이며 D는 정수이므로 실제 보율은 목표값과 조금 다릅니다. 오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.
분주비 D = 10·10⁶/(16·4800) = 130.2 → 130
실제 보율 10·10⁶/(16·130) = 4808 Bd
오차 (4808 − 4800)/4800·100 = 0.1603 %
5. 연산 증폭기 회로
답: Vout = 8.978 V
이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.
+ 입력의 전압 V₊ = Vin ·Rb /(Ra + Rb ) = 1·4.7/(22 + 4.7) = 0.176 V
비반전 이득 V₋ = V₊이고, R₁을 흐르는 전류는 Rf 도 흐릅니다.
Vout = V₊·(1 + Rf /R1 ) = 0.176·(1 + 100/2) = 8.978 V
6. 연산 증폭기 회로
답: If = −0.71 mA
이상 연산 증폭기 규칙: 부귀환이 있으면 연산 증폭기는 두 입력이 같은 전압(V₋ = V₊)이 되도록 출력을 조절하고, 어느 입력으로도 전류가 흘러 들어가지 않습니다. 이 두 사실로 반전 입력에서 KCL을 세우면 출력이 나옵니다.
입력 전류 V₋ = 0이므로 각 입력 저항에는 입력 전압 전체가 걸립니다.
I1 = V1 /R1 = −0.7/1 = −0.7 mA
I2 = V2 /R2 = −0.1/10 = −0.01 mA
If = I1 + I2 = −0.71 mA
7. 저항의 직렬·병렬
답: IR2 = 1.866 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
R1 = 8 Ω R3 = 5 Ω + − V1 30 V R2 5 Ω A R4 8 Ω B
먼 쪽 끝부터 저항 합치기 전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 5 + 8 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 5·13/(5+13) = 3.611 Ω
Req = R1 + 3.611 = 8 + 3.611 = 11.61 Ω
전원 전류 전원은 Req 만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1 /Req = 30/11.61 = 2.584 A
R₂에 흐르는 전류 R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.
VA = V1 − IR1 ·R1 = 30 − 2.584·8 = 9.33 V
IR2 = VA /R2 = 9.33/5 = 1.866 A
8. 저항의 직렬·병렬
답: Req = 15.78 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
R1 = 8 Ω R3 = 4 Ω R5 = 12 Ω + − V1 15 V R2 25 Ω A R4 10 Ω B R6 15 Ω
먼 쪽 끝부터 저항 합치기 전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 12 + 15 = 27 Ω
R4 ∥ 27 = 7.297 Ω
R3 + 7.297 = 11.3 Ω
R2 ∥ 11.3 = 7.781 Ω
Req = R1 + 7.781 = 8 + 7.781 = 15.78 Ω
9. 테브난·노턴
답: Rth = 17 Ω
테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth 와 저항 Rth 의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리 는 같은 회로를 전류원 IN = Vth /Rth 와 Rth 의 병렬 회로로 나타냅니다.
R1 = 10 Ω R3 = 12 Ω 단락 R2 10 Ω A a b Rth 모든 전원을 끄고 Rth 구하기 전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.
R1 ∥ R2 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2 ) + R3 = 5 + 12 = 17 Ω
10. 테브난·노턴
답: IN = 3.266 A
테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth 와 저항 Rth 의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리 는 같은 회로를 전류원 IN = Vth /Rth 와 Rth 의 병렬 회로로 나타냅니다.
R1 = 8 Ω R3 = 10 Ω 단락 R2 6 Ω A 개방 B a b Rth 모든 전원을 끄고 Rth 구하기 전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.
R1 ∥ R2 = 8·6/(8+6) = 3.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2 ) + R3 = 3.429 + 10 = 13.43 Ω
R1 = 8 Ω R3 = 10 Ω + − V1 24 V R2 6 Ω A Is 2.5 A B a b + − Vth 개방 전압 Vth 구하기 a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.
VA = V1 ·R2 /(R1 +R2 ) + Is ·(R1 ∥R2 ) = 10.29 + 2.5·3.429 = 18.86 V
Vth = VB = VA + Is ·R3 = 18.86 + 2.5·10 = 43.86 V
노턴 등가 회로 노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.
IN = Vth /Rth = 43.86/13.43 = 3.266 A