공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
직류 전동기(k = 0.75 N·m/A, Ra = 1 Ω)가 48 V에서 동작하며 부하 토크 1.5 N·m를 구동합니다. 속도 n을(를) rpm 단위로 구하시오.
직류 전동기(k = 2 V·s/rad, Ra = 0.2 Ω)가 고정된 240 V 전원에서 80 N·m의 부하를 구동합니다. 속도를 500 rpm으로 낮추는 직렬 저항 Rs을(를) 구하시오.
1450 rpm으로 도는 1.1 kW 모터가 잇수 18개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 60개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 98%이다. 모터 축의 토크 T1을(를) 구하시오.
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 12개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 80개)를 구동한다. 기어 C(잇수 32개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 400 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 ND은(는) 몇 개여야 하는가?
센서가 400 °C 범위의 온도을(를) 측정하며, 그 출력이 ADC의 입력 범위 전체를 채웁니다. 측정값은 0.2 °C을(를) 구분할 수 있어야 합니다. ADC에 필요한 최소 비트 수 N을(를) 구하시오.
온도 센서가 10 mV/°C를 출력합니다(0 °C에서 0 V). 신호를 10배로 증폭해 입력 범위 0~3.3 V의 10비트 ADC에 넣습니다(1 LSB = VFSR/2ᴺ). LSB 하나에 해당하는 온도 변화 ΔTLSB을(를) 구하시오.
네 변이 모두 300 Ω인 브리지에 10 V를 공급합니다. 센서 R₂가 변하면 출력이 Vab = 122 mV로 읽힙니다. R₂의 정확한 변화량 ΔR을(를) 구하시오.
네 변이 350 Ω인 브리지에 3 V를 여기하며 구성은 다음과 같습니다: 능동 게이지 하나(1/4 브리지). 게이지율은 2.05이고 변형률은 1200 µε입니다. 브리지 출력 Vo을(를) mV 단위로 구하시오.
포물선 입력 r(t) = 10·t²/2이 G(s) = 4(s + 5)/(s²(s + 10))인 단위 피드백 루프에 가해집니다. 정상상태 오차 ess을(를) 구하시오.
비례 제어기 K = 40이(가) 단위 피드백 루프에서 플랜트 G(s) = 5/(s(s + 4))을(를) 제어합니다. 계단 응답의 피크 시간 tp을(를) 구하시오.
어떤 시스템의 전달함수가 G(s) = 120/(s² + 4s + 60)이고 단위 계단 입력을 받는다. 계단 응답의 백분율 오버슈트 %OS을(를) 구하시오.
영점이 없는 2차 시스템의 계단 응답이 오버슈트 5 %를 보이고 첫 번째 피크가 t = 0.8 s에서 나타난다. 고유 진동수 ωn을(를) 구하시오.
답: n = 585.7 rpm
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
답: Rs = 3.182 Ω
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
저항기는 5091 W를 낭비합니다. 초퍼는 훨씬 적은 손실로 속도를 제어합니다.
답: T1 = 7.244 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
답: ND = 36
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
답: N = 11
ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.
답: ΔTLSB = 0.03223 °C
ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.
ADC는 33 °C에서 풀스케일에 도달합니다.
답: ΔR = 15 Ω
휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1–R2는 Va = Vs·R2/(R1 + R2)를, 오른쪽 분압기 R3–R4는 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb입니다. 브리지는 R1/R2 = R3/R4, 즉 R1·R4 = R2·R3일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1∥R2 + R3∥R4인 테브난 전원입니다.
답: Vo = 1.845 mV
스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.
답: ess = 5
정상상태 오차: 개루프 전달함수 G(s)인 단위 피드백 루프에서 오차는 E(s) = R(s)/(1 + G(s))이고, 최종값 정리에 의해 ess = lims→0 s·E(s)입니다. 시스템 형은 G(s)의 s = 0에 있는 극점의 개수입니다. 오차 상수는 Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)이며 모두 s → 0에서의 극한입니다. 크기 A의 계단 입력은 ess = A/(1 + Kp), 램프 입력 A·t는 A/Kv, 포물선 입력 A·t²/2은 A/Ka를 줍니다. 0형 루프는 계단 입력을 유한한 오차로 추종하고, 1형 루프는 계단 입력을 정확히 추종하며 램프 입력은 유한한 오차로 추종합니다.
답: tp = 0.2244 s
P, PI, PID 제어: 제어기 C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s는 오차에 작용합니다. 비례 이득은 루프를 빠르게 하고 0형 플랜트의 오차를 줄이지만 완전히 없애지는 못합니다. 적분 항은 s = 0에 극점을 추가합니다. 시스템 형이 하나 올라가고 계단 입력을 오차 없이 추종합니다. 미분 항은 감쇠를 더합니다. 이득을 정하려면 폐루프 특성다항식을 쓰고 s² + 2ζωns + ωn²과 비교하세요. 그러면 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd이며 ωd = ωn√(1 − ζ²), ts ≈ 4/(ζωn)입니다.
답: %OS = 43.19 %
계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jωd를 가지며 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), 피크 시간 tp = π/ωd, 2 % 정착 시간 ts ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.
분모가 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 일치해야 합니다.
답: ωn = 5.426 rad/s
계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jωd를 가지며 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), 피크 시간 tp = π/ωd, 2 % 정착 시간 ts ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.
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